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Adjungierter Operator

In der Funktionalanalysis kann zu jedem dicht definierten linearen_Operator A ein adjungierter Operator $A^*$ definiert werden.

Lineare Operatoren können zwischen zwei _Hilberträumen mit gemeinsamem Grundkörper K (K=C oder K=R), z.B. zwei endlichdimensionalen euklidischen Vektorräumen definiert werden.
Auf endlichdimensionalen Räumen entspricht der adjungierte Operator der adjungierten_Matrix. In der Matrizenrechnung mit reellen Einträgen entspricht die Bildung des adjungierten Operators dem Transponieren der Ausgangsmatrix.

Konstruktion des Adjungierten Operators

Zur Vereinfachung kann der Bild- und Definitionsraum als gleich angenommen werden. Des Weiteren unterscheidet man zwischen beschränkten und _unbeschränkten_Operatoren.

Definition für beschränkte Operatoren

Beschränkte Operatoren können auf dem gesamten Hilbertraum H definiert werden. In diesem Fall ist für jedes $y\; \backslash in\; H$ die Funktion $f(\backslash cdot)\; =\; \backslash langle\; A\backslash cdot,y\; \backslash rangle$ ein auf dem ganzen Hilbertraum H definiertes, lineares stetiges Funktional, da aus der Beschränktheit des auf ganz H definierten linearen Operators A die Stetigkeit von f folgt.

Der Darstellungssatz_von_Riesz liefert für jedes stetige lineare Funktional $f$ ein eindeutig bestimmtes Element $z\; \backslash in\; H$, sodass $f(x)\; =\; \backslash langle\; x,z\backslash rangle$ für alle $x\; \backslash in\; H$. Also existiert für jedes $y\; \backslash in\; H$ genau ein Element $z\; \backslash in\; H$ mit $\backslash langle\; Ax,y\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; x,z\; \backslash rangle$. Man bezeichnet dieses Element z mit $z\; =\; A^*y$, wobei $A^*$ der zu A adjungierte Operator genannt wird.

Weiter nützliche Eigenschaften des adjungierten Operators:

* $A^*$ ist beschränkt und $\backslash |\; A\backslash |\; =\; \backslash |\; A^*\backslash |=\; \backslash |\; A^*A\backslash |^\{1/2\}$.

* A,B beschränkte Operatoren auf H

$(AB)^*\; =\; B^*A^*$

* Kern und Bild: $\backslash operatorname\{Ker\}(A)\backslash ;\backslash bot\backslash ;\backslash operatorname\{Im\}(A^*)$

Definition für unbeschränkte Operatoren

Sei $A$ ein unbeschränkter, auf einem Hilbertraum $H$ definierter Operator mit dichtem
Definitionsbereich $D(A)$. Dann definiert man den adjungierten Operator auf
folgendem Definitionsbereich:

:$D(A^*)\; =\; \backslash \{y\; \backslash in\; H\; :\; \backslash exists\; z\; \backslash in\; H\; \backslash ;\; \backslash forall\; x\backslash in\; D(A)\; \backslash ;\; \backslash langle\; Ax,y\backslash rangle\; =\; \backslash langle$
x,z\rangle\}.

Da $D(A)\; \backslash subset\; H$ dicht ist, ist das Element $z$ eindeutig bestimmt. Man definiert den zu $A$ adjungierten Operator mittels $A^*y\; :=\; z$.

= Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren

=

Sei $A\; :\; D(A)\; \backslash rightarrow\; H$ ein dicht definierter Operator.

Der Operator $A$ heißt symmetrisch (in Zeichen $A\; \backslash subset\; A^*$), wenn
$D(A)\; \backslash subset\; D(A^*)$ und $\backslash langle\; Ax,y\backslash rangle\; =\; \backslash langle\; x,Ay\backslash rangle$ für alle $x,y\; \backslash in\; D(A)$ gilt.

Der Operator $A$ heißt selbstadjungiert (in Zeichen $A\; =\; A^*$), wenn
$D(A)\; =\; D(A^*)$ und $\backslash langle\; Ax,y\backslash rangle\; =\; \backslash langle\; x,Ay\backslash rangle$ für alle $x,y\; \backslash in\; D(A)$ gilt.

Jeder selbstadjungierte Operator ist auch symmetrisch. Für beschränkte Operatoren sind Symmetrie und Selbstadjungiertheit gleich.
Ein verwandter Begriff ist hermitesch, der oft in der Quantenmechanik benutzt wird.

Weitere Eigenschaften:

* Ist $A$ ein dicht definierter Operator, dann ist $A^*A$ ein selbstadjungierter und positiver Operator.

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