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Adjunktion (Kategorientheorie)

Adjungiert heißen zwei Funktoren F: C → D, G: D → C zwischen zwei Kategorien C und D, die gewissermaßen ein Ersatz für eine fehlende Äquivalenz von Kategorien sind.

Definition

Zwei Funktoren F: C → D, G: D → C zwischen zwei Kategorien C und D bilden ein Paar adjungierter Funktoren, wenn die Funktoren
:(X,Y) $\backslash mapsto$ Mor_D(X,FY)
und
:(X,Y) $\backslash mapsto$ Mor_C(GX,Y)
von D × C nach Set natürlich äquivalent sind. (Die natürliche Äquivalenz ist Bestandteil der Struktur "adjungiertes Funktorpaar".)

F heißt rechtsadjungiert zu G, G heißt linksadjungiert zu F.

Einheit und Koeinheit der Adjunktion

Ist t die natürliche Äquivalenz Mor_D(_,F(_)) → Mor_C(G(_),_), so heißen die natürlichen Transformationen
:η: id_D → FG
und
:φ: GF → idC,
die durch
:η_X = t_(X,GX)⁻¹(id_GX)
bzw.
:φ_Y = t_(FY,Y)(id_FY)
definiert sind, Einheit bzw. Koeinheit der Adjunktion.

Einheit und Koeinheit haben die Eigenschaft, dass die beiden induzierten Transformationen
:F → FGF → F
und
:G → GFG → G
die Identität ergeben. Umgekehrt kann man zeigen, dass zwei derartige natürliche Transformationen eine Adjunktion bestimmen.

Eigenschaften

* Sind F und G quasi-invers zueinander, so ist F rechts- und linksadjungiert zu G.
* Rechtsadjungierte Funktoren erhalten Limites (sind also linksexakt), linksadjungierte Funktoren erhalten Kolimites (sie sind rechtsexakt).

Beispiele

* Der Funktor "freie abelsche Gruppe über einer Menge" ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Ab → Set.
* Der Funktor "statte eine Menge mit der diskreten Topologie aus" ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top → Set.
* Der Funktor "disjunkte Vereinigung mit einem einpunktigen Raum" ist linksadjungiert zum Vergissfunktor Top^* → Top.
* Der Funktor "Stone-Cech-Kompaktifizierung" ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie aller topologischer_Räume.
* Der Funktor "Vervollständigung" ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der vollständigen metrischen Räume in die Kategorie aller metrischen_Räume.
* Die reduzierte Einhängung ist linksadjungiert zum Schleifenraum; beide Kategorien sind dabei die punktierten_topologischen_Räume mit den Homotopieklassen von punktierten Abbildungen als Morphismen.

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