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Adjungierte Matrix

In der linearen_Algebra ist die zu einer reellen oder komplexen quadratischen Matrix $A$ adjungierte Matrix $A^*$ eine Matrix, die eine bestimmte Vertauschungsbedingung für Skalarprodukte erfüllt.

Eine andere Schreibweise für die adjungierte Matrix ist $\backslash operatorname\{adj\}(A)$. Diese Notation ist jedoch nicht eindeutig, da sie auch für die Adjunkte bzw. komplementäre Matrix verwendet wird.

Definition

Sei $A$ eine $n\backslash times\; n$-Matrix über dem Körper $\backslash Bbb\; K$ der reellen oder komplexen_Zahlen, d.h. $\backslash Bbb\; K=\backslash R$ oder $\backslash Bbb\; K=\backslash Bbb\; C$.

Die zu $A$ adjungierte Matrix $A^*$ ist durch folgende Eigenschaft definiert:
:$\backslash langle\; Av,\; w\backslash rangle\; =\; \backslash langle\; v,\; A^*\backslash ,w\backslash rangle$ für alle $v,\; w\; \backslash in\backslash Bbb\; K^n$.

Dabei bezeichnet $\backslash langle\backslash cdot,\backslash cdot\backslash rangle$ das kanonische Skalarprodukt des $\backslash Bbb\; K^n$.

Berechnung und Rechenregeln

Man kann zeigen, dass die Adjungierte
*im reellen Fall $\backslash Bbb\; K=\backslash R$ genau die transponierte Matrix $A^T$ von $A$ ist;
*im komplexen Fall $\backslash Bbb\; K=\backslash Bbb\; C$ genau die komplex_konjugierte der Transponierten, also $\backslash overline\{A^T\}$ ist.

Gilt $A^*\; =\; A$, so heißt $A$ selbstadjungiert. Im reellen Fall heißt die Matrix dann auch symmetrisch und im komplexen Fall auch hermitesch.

Im Folgenden seien $A$ und $B$ Matrizen und $r$ eine komplexe Zahl, dann gilt:
:$\backslash left(A\; +\; B\backslash right)^*\; =\; A^*\; +\; B^*$
:$(rA)^*\; =\; \backslash overline\{r\}A^*$
:$\backslash left(AB\backslash right)^*\; =\; B^*A^*$
:$\backslash left(A^*\backslash right)^*\; =\; A$ für jede beliebige Matrix $A$
:$\backslash left(A^\{-1\}\backslash right)^*=\backslash left(A^*\backslash right)^\{-1\}$, falls $A$ invertierbar ist
:$\backslash det(A^*)\; =\; \backslash overline\{\backslash det(A)\}$

Verallgemeinerung

In der Funktionalanalysis wird die adjungierte Matrix zum adjungierten_Operator verallgemeinert.

Für einen Endomorphismus $F:\; V\; \backslash rightarrow\; V$ eines Hilbertraums $V$ wird ein adjungierter Endomorphismus $\backslash operatorname\{adj\}(F):\; V\; \backslash rightarrow\; V$ durch die Eigenschaft:
:$\backslash langle\; \backslash operatorname\{F\}(v),\; w\; \backslash rangle\; =\; \backslash langle\; v,\; \backslash operatorname\{adj\}(F)(w)\backslash rangle$ für alle $v,\; w\; \backslash in\backslash \; V$
definiert.
Man kann dann einen Zusammenhang zum dualen Operator $F^*:\; V^*\; \backslash rightarrow\; V^*$ herstellen.

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