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Adelring

Der Adelring wird in der Mathematik im Zusammenhang der Klassenkörpertheorie definiert und ermöglicht eine besonders elegante Darstellung des Artinschen_Reziprozitätsgesetzes.

Ist $K$ ein globaler Körper, also entweder ein algebraischer Zahlkörper oder ein algebraischer Funktionenkörper über einem endlichen Körper, so besteht der Adelring $\{\backslash Bbb\; A\_K\}$ aus allen Elementen $(x\_v)\_\{v\backslash in\; X\}\backslash in\; \backslash Pi\_\{v\backslash in\; X\}K\_v$, bei denen fast alle Komponenten ganz sind (eine positive Bewertung haben). Dabei sind $X$ die Menge der _Bewertungen von $K$ und $K\_v$ die Komplettierungen von $K$ bezüglich der Bewertungen $v\backslash in\; X$. Mit der von der Produkttopologie erzeugten Topologie wird der Adelring zu einem topologischen Ring (d.h. die Verknüpfungen sind stetige Abbildungen). Die _Gruppe_der_Einheiten ist die Idelgruppe.

Verallgemeinerungen des Artinschen Reziprozitätsgesetzes führen zu den Zusammenhängen von _automorphen_Darstellungen (spezielle Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe $\backslash mathrm\{GL\}\_2(\backslash Bbb\; A\_K)$) und Galoisdarstellungen von $K$ (Langlands-Programm).

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