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Filtrierung

Der Begriff Filtrierung (auch Filtration, Filterung oder Filtern) bezeichnet in der Theorie der stochastischen_Prozesse eine Familie von Sigma-Algebren, die Informationen über den Verlauf von Prozessen enthält.

Definition

Sei $T$ eine beliebige geordnete Indexmenge (üblicherweise $\backslash mathbb\{R\}\_+$ oder $\backslash mathbb\{N\}\_0$). Eine Familie $(\backslash mathcal\{F\}\_t),t\; \backslash in\; T$ von Sigma-Algebren heißt Filtrierung, falls für alle

Eine alternative Definition fordert zusätzlich, dass die Familie der Sigma-Algebren rechtsseitig stetig ist, dass also gilt:
:$\backslash forall\; t\; \backslash in\; T:\; \backslash ;\backslash ;\; \backslash bigcap\_\{s>t\}\backslash mathcal\{F\}\_s\; =\; \backslash mathcal\{F\}\_t$.

Ein stochastischer Prozess $(X\_t),\; t\; \backslash in\; T$ heißt an die Filtrierung $(\backslash mathcal\{F\}\_t),t\; \backslash in\; T$ angepasst (oder adaptiert), wenn $X\_t$ stets $\backslash mathcal\{F\}\_t$-messbar ist für alle $t$.

Verwendung des Begriffes

Der Begriff der Filtrierung ist unerlässlich, um, ausgehend vom Begriff des stochastischen Prozesses, wichtige Begriffe wie Martingale oder Stoppzeiten einzuführen.

Die Mengen der Sigma-Algebra $\backslash mathcal\{F\}\_t$ geben zu jedem Zeitpunkt t an, wie viele Informationen zur Zeit bekannt sind. Für jede Menge $A\; \backslash subseteq\; \backslash Omega$ bedeutet $A\; \backslash in\; \backslash mathcal\{F\}\_t$ übersetzt, dass zum Zeitpunkt t die Frage "ist $\backslash omega\; \backslash in\; A\; ?$" eindeutig mit "ja" oder "nein" beantwortet werden kann (genaueres dazu siehe unter Sigma-Algebra). Dass die Filtrierung stets aufsteigend geordnet ist, bedeutet demnach, dass eine einmal erlangte Information nicht mehr verloren geht.

Ist ein stochastischer Prozess $(X\_t),\; t\; \backslash in\; T$ an eine Filtrierung $(\backslash mathcal\{F\}\_t),t\; \backslash in\; T$ adaptiert, bedeutet dies also, dass der Verlauf der Funktion $t\; \backslash mapsto\; X\_t(\backslash omega)$ im Intervall [0,t] zum Zeitpunkt t (für beliebiges aber unbekanntes $\backslash omega\; \backslash in\; \backslash Omega$) komplett bekannt ist.

Beispiele

*Natürliche Filtrierung: Ist $(X\_t),t\; \backslash in\; T$ ein stochastischer Prozess, so wird das durch $\backslash mathcal\{F\}\_t:=\backslash sigma(\{X\_s;s\; \backslash le\; t\})$ erzeugte System als natürliche Filtrierung des Prozesses bezeichnet ($\backslash sigma$ bezeichnet dabei den Sigma-Algebren-Operator, siehe dazu Sigma-Algebra). Es ist also zu jedem Zeitpunkt $t$ die vollständige Information über den vergangenen Verlauf des Prozesses bis einschließlich zum Zeitpunkt $t$ vorhanden.

*Filtrierung der vollständigen Information: Ist der Prozess $(X\_t),t\; \backslash in\; T$ auf dem Grundlegenden Wahrscheinlichkeitsraum $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\{A\},\; P)$ definiert, so wird durch $\backslash mathcal\{F\}\_t:=\backslash mathcal\{A\}\backslash ;\backslash forall\; t\; \backslash in\; T$ eine Filtrierung definiert, die Filtrierung der Vollständigen Information. Hier ist also zu jedem Zeitpunkt $t$ die vollständige Information über den gesamten Verlauf des Prozesses zu jedem Zeitpunkt vorhanden.

Spezielle Eigenschaften

*Die zur Filtrierung $\backslash mathcal\{F\}$ gehörende terminale Sigma-Algebra erfüllt $\backslash mathcal\{F\}\_\backslash infty\; =\; \backslash sigma(\backslash bigcup\_\{t\; \backslash in\; T\}\; \backslash mathcal\{F\}\_t)$.

*Zu einem beliebigen Zeitpunkt $t\; \backslash in\; \backslash R$ definiert man als linken Grenzwert der Filtrierung die Sigma-Algebra

Dabei gilt stets $\backslash mathcal\{F\}\_\{t-\}\; \backslash subseteq\; \backslash mathcal\{F\}\_t$. Stimmen Filtrierung und linker Grenzwert zu jedem Zeitpunkt überein, so heißt die Filtrierung linksseitig stetig. Eine stetige Filtrierung ist konsequenterweise eine solche, die links- und rechtsseitig stetig ist.

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