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Abzählbarkeitsaxiom

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie gibt es zwei Endlichkeitsbedingungen an die betrachteten Räume, die als erstes bzw. zweites Abzählbarkeitsaxiom bezeichnet werden. Räume, die ein Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, können aus toplogischer Sicht als ?klein? gelten.

Erstes Abzählbarkeitsaxiom

Das erste Abzählbarkeitsaxiom besagt:
:Jeder Punkt hat eine abzählbare Umgebungsbasis.
Das bedeutet: Ist $X$ ein topologischer Raum und $x\backslash in\; X$ ein Punkt, so gibt es eine abzählbare Menge $\backslash \{U\_1,U\_2,\backslash ldots\backslash \}$ von Umgebungen von $x$, so dass es zu jeder Umgebung $V$ von $x$ einen Index $k$ gibt, so dass $U\_k\backslash subseteq\; V$ gilt.

Eigenschaften

Das erste Abzählbarkeitsaxiom ist eine lokale Forderung, d.h. ist $\backslash \{V\_i\backslash \}$ eine offene Überdeckung von $X$, so dass die Räume $V\_i$ mit der Teilraumtopologie das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, dann gilt das erste Abzählbarkeitsaxiom auch für $X$.

Konvergente_Folgen sind in Räumen, die das erste Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen, sehr viel weniger nützlich. Beispielsweise ist in derartigen Räumen ein Punkt des Abschlusses einer Teilmenge $U$ nicht notwendigerweise Grenzwert einer Folge von Elementen aus $U$. Um abgeschlossene Mengen durch Grenzwerte zu beschreiben, müssen in solchen Räumen Moore-Smith-Folgen (Netze) betrachtet werden.

Zweites Abzählbarkeitsaxiom

Das zweite Abzählbarkeitsaxiom besagt:
:Der Raum hat eine abzählbare Basis der Topologie.
Das bedeutet: Ist $X$ ein topologischer Raum, so gibt es eine abzählbare Menge $B=\backslash \{U\_1,U\_2,\backslash ldots\backslash \}$ von offenen Teilmengen, die zu jedem Punkt eine Umgebungsbasis enthält, d.h. zu jedem Punkt $x\backslash in\; X$ und jeder Umgebung $V$ von $x$ gibt es einen Index $k$, so dass $x\backslash in\; U\_k\backslash subseteq\; V$ gilt.

Eigenschaften

Das zweite Abzählbarkeitsaxiom impliziert das erste. In einem topologischen Raum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, kann jede offene Menge O als (höchstens abzählbare) Vereinigung von Mengen aus der Basis B dargestellt werden.

Beispiele

* Jeder metrische_Raum erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom, da zu einem Punkt x die ?-Umgebungen mit $\backslash varepsilon=1,1/2,1/3,\backslash ldots$ eine abzählbare Umgebungsbasis bilden.
* Die Menge der reellen_Zahlen und alle endlichdimensionalen reelle_Vektoräume mit ihrer üblichen Topologie (als normierte_Räume) erfüllen beide Abzählbarkeitsaxiome.
* Da die diskrete Topologie von einer Metrik induziert ist, erfüllt jeder diskrete Raum das erste Abzählbarkeitsaxiom. Eine überabzählbare_Menge versehen mit der diskreten Topologie erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiome nicht.
* Ein topologischer Raum X mit der Klumpentopologie (in der nur der ganze Raum X und die leere Menge offen sind) erfüllt beide Abzählbarkeitsaxiome.

Siehe auch

• Raum]
• Raum]
• (Topologie)]
• Weblinks
• Planetmath (englisch) zum Stichwort First Axiom of Countability (1. Abzälbarkeitsaxiom).
* [http://planetmath.org/encyclopedia/SecondAxiomOfCountability.html Planetmath (englisch) zum Stichwort Second Axiom of Countability (2. Abzälbarkeitsaxiom).

Literatur

* Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearb. u. erw. Aufl. Heidelberg 2001, Springer-Lehrbuch, ISBN 3540677909
:(Eine Zusammenfassung und Leserkommentare zu diesem Buch finden sich bei [http://matheplanet.com/default3.html?call=reviews.php?op=showcontent&id=115&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Fsearch%3Fq%3DQuerenburg%2B%2522mengentheoretische%2BTopologie%2522%26sourceid%3Dmozilla-search%26start%3D0%26start%3D0%26ie%3Dutf-8%26oe%3Dutf-8%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla%3Aen-US%3Aofficial Matheplanet.com].)

Quelle

* Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2., neubearb. und erweiterte Auflage. Berlin u. a. 1979, Springer-Lehrbuch, ISBN 3-540-09799-6

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