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Nyquist-Shannon-Abtasttheorem

Das Nyquist-Shannonsche Abtasttheorem, in neuerer Literatur auch WKS-Sampling-Theorem (für Whittaker-Kotelnikow-Shannon) genannt, ist ein grundlegendes Theorem der Nachrichtentechnik, Signalverarbeitung und Informationstheorie. Claude Elwood Shannon formulierte es 1948 als Ausgangspunkt seiner Theorie der maximalen Kanalkapazität, d. h. der maximalen Bitrate in einem frequenzbeschränkten, rauschbelasteten Übertragungskanal. Dabei stützte er sich auf Überlegungen von Harry Nyquist (1928) zur Übertragung endlicher Zahlenfolgen mittels trigonometrischer Polynome und auf die Theorie der Kardinalfunktionen von Edmund Taylor Whittaker (1915) und seinem Sohn John Macnaughten Whittaker (1929) [2]. Unabhängig davon wurde das Abtasttheorem 1933 von Wladimir Alexandrowitsch Kotelnikow [3] in der sowjetischen Literatur eingeführt, was im Westen allerdings erst in den 1950er Jahren bekannt wurde. Ansätze zur Interpolation mittels Kardinalreihen oder ähnlicher Formeln lassen sich bis in die Mitte des 19. Jahrhunderts zurückverfolgen.

Das Abtasttheorem besagt, dass ein kontinuierliches, bandbegrenztes Signal, mit einer Minimalfrequenz von 0 Hz und einer Maximalfrequenz f_max, mit einer Frequenz größer als $2\; \backslash cdot\; f\_\{\backslash max\}$ abgetastet werden muss, damit man aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne Informationsverlust (aber mit unendlich großem Aufwand) rekonstruieren bzw. (mit endlichem Aufwand) beliebig genau approximieren kann.

Für Nicht-Basisband-Signale, die eine minimale Frequenz $f\_\{\backslash min\}$ größer 0 Hz haben, gilt das Abtasttheorem in einer verallgemeinerten Form; die Abtastfrequenz muss dann größer als zweimal die Bandbreite (= zweimal die Differenz zwischen oberer und unterer Grenzfrequenz) des Signals sein (siehe Abschnitt Unterabtastung).

Im Spezialfall einer unteren Grenzfrequenz gleich 0 wird also
:$f\_\{\backslash rm\; abtast\}\; >\; 2\backslash ,f\_\{\backslash rm\; max\}$
gefordert, im allgemeinen Fall
:$f\_\{\backslash rm\; abtast\}\; >\; 2(\backslash ,f\_\{\backslash rm\; max\}\; -\; f\_\{\backslash rm\; min\})$

In der Praxis bedeutet das Abtasttheorem, dass man vor der Abtastung die maximale Frequenz kennen oder herausfinden muss (zum Beispiel mit Hilfe der Fourier-Analyse eines hochfrequent abgetasteten Signals) und dass dann das Signal (zum Beispiel zum Zwecke der Digitalisierung) mit mehr als der doppelten Frequenz abgetastet werden muss, wenn man das Signal in guter Näherung rekonstruieren will.

Das Nyquist-Shannon Abtasttheorem findet bei jeder Digitalisierung Anwendung. $\backslash frac\{1\}\{2\}\; f\_\{\backslash rm\; abtast\}$ nennt man, nach Vorschlag von C. E. Shannon, die Nyquist-Frequenz.

Analog gilt das Abtasttheorem auch bei Bildern, wobei die Abtastfrequenz dann in Linien (bzw. Pixel) pro Längeneinheit bestimmt werden kann.

Erklärung der Begriffe

*Ein bandbeschränktes Signal x mit einer maximalen Frequenz F:=f_max ist eine Funktion, für welche die Fouriertransformierte $X=\backslash mathcal\; F(x):\backslash R\backslash to\backslash mathbb\; C$ existiert und diese Fouriertransformierte außerhalb des Intervalls $[-2\backslash pi\; F,2\backslash pi\; F]$ Null ist. Dann kann umgekehrt das bandbeschränkte Signal durch die inverse Fouriertransformation der Frequenzdichte dargestellt werden:
::$x(t)=\backslash frac1\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\backslash int\_\{-2\backslash pi\; F\}^\{2\backslash pi\; F\}\; X(\backslash omega)e^\{\backslash mathrm\{i\}\backslash omega\backslash ,t\}\backslash ,\; d\backslash omega$.
:?Gute?, zulässige Funktionen für die Frequenzdichte X sind beispielsweise stückweise stetige Funktionen, für die in jedem Punkt beide der einseitigen Grenzwerte existieren. Allgemeiner sind Funktionen aus dem Funktionenraum $L^2([-2\backslash pi\; F,2\backslash pi\; F],\backslash mathbb\; C)$ zulässig.

:Ist x reellwertig, so gilt $X(-\backslash omega)=\backslash overline\{X(\backslash omega)\}$. Wird X in Polarkoordinaten dargestellt, $X(\backslash omega)=|X(\backslash omega)|e^\{i\backslash ,\backslash phi(\backslash omega)\}$, so erhalten wir x mittels eines Integrals mit reellem Integranden,
::$$
x(t)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{2\pi F}|X(\omega)|\,\cos(\omega\,t+\phi(\omega))\, d\omega
.
:In der kartesischen Darstellung $X(\backslash omega)=A(\backslash omega)+iB(\backslash omega)$ ergibt sich analog
::$$
x(t)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^{2\pi F}\left(A(\omega)\,\cos(\omega\,t)-B(\omega)\,\sin(\omega\,t)\right)\, d\omega
.

*Abtasten mit der doppelten Frequenz bedeutet hier, dass Funktionswerte in gleichmäßigen Abständen genommen werden, wobei ein einfacher Abstand T = 1/(2F) beträgt, d. h. aus x wird die Zahlenfolge x[k]:=x(kT) konstruiert. Nach der Fourierdarstellung ergeben sich diese Werte aus der Frequenzdichte als
::$x(kT)=\backslash frac1\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\backslash int\_\{-2\backslash pi\; F\}^\{2\backslash pi\; F\}\; X(\backslash omega)e^\{\backslash mathrm\{i\}\backslash frac\{k\backslash omega\}\{2F\}\}\backslash ,\; d\backslash omega$.
:Diese sind aber gerade die Koeffizienten in der Fourierreihenentwicklung
::$X(\backslash omega)=\backslash frac1\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\backslash ,2F\}\backslash sum\_\{k=-\backslash infty\}^\backslash infty\; x(kT)\; e^\{-\backslash mathrm\{i\}\backslash frac\{k\backslash omega\}\{2F\}\}.$
:Somit ist die Frequenzdichte und damit das Signal schon durch die Werte der Abtastfolge vollständig determiniert.

*Rekonstruieren ohne Informationsverlust bedeutet, dass die Lagrange-Interpolation, ausgeweitet auf den Fall mit unendlich vielen, regelmäßig angeordneten Stützstellen, wieder das Ausgangssignal ergibt
::$$
x(t)=y(t):=\sum_{k=-\infty}^\infty x_k\prod_{j\in\mathbb Z,\;j\ne k}\frac{t-jT}{kT-jT}
=\sum_{k=-\infty}^\infty x(kT)\ \mathrm{sinc}(t/T-k)
.
:Man beachte, dass zur Bestimmung eines jeden Signalwertes eine Summation über einen unendlichen Bereich notwendig ist. Außerdem müssen unendlich viele Takte abgewartet werden, bevor die Summation abgeschlossen werden kann.

:Die Funktion $\backslash operatorname\{sinc\}(x)\; =\; \backslash frac\{\backslash sin(\backslash pi\; x)\}\{\backslash pi\; x\}$, der Sinus_cardinalis, ist dabei der ideale Interpolationskern für ganzzahlige Stützstellen; es ist sinc(0)=1 und sinc(n)=0 für jedes weiter ganzzahlige n. Die interpolierende Reihe wird auch, nach Whittakers Notation, als Kardinalreihe bezeichnet, dabei bezieht sich die Vorsilbe kardinal auf die herausragende Rolle als ?schwankungsärmste? unter allen interpolierenden Funktionenreihen. Die sinc-Funktion hat, bis auf einen Faktor, die Rechteck-Funktion $\backslash operatorname\{rect\}(\backslash frac\{x\}\{2\backslash pi\})$ als Fourier-Transformierte, diese hat den Wert 1 auf dem Intervall $[-\backslash pi;\; \backslash pi]$, sonst den Wert Null. Sie ist also bandbeschränkt mit höchster Frequenz 1/2.

:Die Entwicklung als Kardinalreihe ergibt sich nun ganz natürlich, indem die Fourierreihe der Frequenzdichte in die inverser Fouriertransformation eingesetzt wird,
::$$
x(t)=\frac1{4\pi F}\,\sum_{k=-\infty}^\infty x(kT) \int_{-2\pi F}^{2\pi F} e^{-\mathrm{i}\frac{k\omega}{2F}+i\omega t}\,d\omega
=\sum_{k=-\infty}^\infty x(kT) \operatorname{sinc}(2Ft-k).


*Ein reelles Nicht-Basisband-Signal muss, um Abtastung durch Funktionswerte zu erlauben, eine nur für Frequenzen aus dem Intervall $[2\backslash pi\; nF,\; 2\backslash pi(n+1)F]$ nicht verschwindende Fourier-Transformierte haben. Dann ist F die einseitige Bandbreite. Dieses kann auf Frequenzbänder beliebigen Zuschnitts verallgemeinert werden, allerdings ist dann das Abtasten nicht durch Funktionswerte, sondern durch Skalarprodukte zu definieren. Ein Beispiel dafür ist das Frequenzmultiplexverfahren, siehe auch OFDM.

Bemerkung: Kein endliches Signal, d. h. keine Funktion mit einem endlichen Träger erfüllt die Voraussetzungen an eine bandbeschränkte Funktion. Ebensowenig fallen periodische Signale, wie zum Beispiel reine Sinusschwingungen, in den Bereich dieses Theorems; genausowenig Signale mit Knicken oder Sprüngen. Es ist somit als ideale Aussage in einer idealen Situation zu betrachten. Dem Ideal am nächsten kommen modulierte Schwingungen, wie Musik- oder Sprachaufzeichnungen, die zum Speichern auf CD gesampelt und digitalisiert werden sollen. Für andere praktische Zwecke, zum Beispiel digitale Bildbearbeitung, müssen Varianten des Abtasttheorems mit nicht ganz so starken Anforderungen gefunden werden, für die dieses Theorem dann Richtschnur ist. Siehe Quelle: M. Unser: Sampling...

Tiefpass zur Verhinderung von Signalstörungen

Eventuell enthaltene Signalanteile mit einer Frequenz größer der halben Abtastfrequenz müssen vor der Abtastung mit einem (analogen) Tiefpass-Filter aus dem Signal entfernt werden, da es sonst zu Artefakten kommt.
Die Entfernung dieser Anteile führt zu einer Veränderung des Signals und sollte nur angewendet werden, wenn diese Änderung unwesentlich ist oder eine Erhöhung der Abtastfrequenz nicht in Frage kommt.
Die Artefakte sind Alias-Signale (Störsignale, Pseudosignale), die sich als störende Frequenzanteile bemerkbar machen. Wird zum Beispiel ein Sinussignal, das eine Frequenz von 1600 Hz hat, mit einer Abtastfrequenz von 2000 Hz digitalisiert, erhält man ein 400 Hz Alias-Signal (2000 bis 1600 Hz). Bei einer Abtastfrequenz über 3200 Hz entsteht dagegen kein Alias-Signal. Eine Abtastfrequenz von zum Beispiel 3300 Hz führt zu einem Differenzsignal von 1700 Hz (3300 bis 1600 Hz). Dieses ist jedoch größer als die halbe Abtastrate und wird demnach bei der Rekonstruktion durch einen Tiefpass entfernt.

Mathematischer Hintergrund

Zu mathematischen Grundlagen siehe: Lebesgue-Integral, Lebesgue-Raum, Fourier-Transformation

Durch Skalieren der Zeitabhängigkeit kann jedes bandbeschränkte Signal x(t) auf den Frequenzbereich [-½; ½], bzw. [-?; ?] als Kreisfrequenzbereich, reduziert werden. Die Frequenzdichte g(f) muss eine Funktion beschränkter Variation sein, wie es zum Beispiel stückweise stetige Funktionen sind. Dann ist x(t) eine stetige, beliebig oft differenzierbare, absolut- und quadratintegrable Funktion,
$x\backslash in\; L^2(\backslash R)\backslash cap\; L^1(\backslash R)\backslash cap\; C^\backslash infty(\backslash R)$, und hat eine Fourier-Transformierte $X=\backslash hat\; x\backslash in\; L^2(\backslash R)$ mit Träger $\backslash mbox\{supp\}\backslash ,\backslash hat\; x\backslash subset\; [-\backslash pi,\backslash pi]$.

Der Funktionswert x(t) an jedem beliebigen Punkt t ist unter diesen Voraussetzungen schon allein durch die Funktionswerte x(n) an allen ganzzahligen Punkten t=n festgelegt, es gilt:
:$$
x(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty x(n)\cdot \frac{\sin(\pi(t-n))}{\pi(t-n)}
=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^n x(n)}{t-n}
.

Diese Gleichung enthält zwei nichttriviale Aussagen: 1) Die unendliche Reihe konvergiert, und 2) der Grenzwert ist immer identisch mit dem Funktionswert x(t).

Artefakte

Wird die Abtastfrequenz unbedacht zu klein gewählt, treten Artefakte auf. Diese nicht linearen Verzerrungen sind auch unter dem Begriff Alias-Effekt bekannt.

Beispiel Bilder

Alias-Signale treten auch beim Scannen von Vorlagen mit wechselnden Ortsfrequenzen auf, man spricht dann von einem Moiré-Effekt; zum Beispiel Kleidungsstücke wie Wollpullis oder Anzüge mit dünnen Streifen, auch Ziegeldächer usw. Oft sind Moirés auch im Fernsehen zu sehen, wenn Moderatoren Nadelstreifenanzüge tragen.

Im hier vorliegenden Fall ist die Ursache eine Überlagerung der Spektren der Abtast-Funktion, deren Ausgangssignale mit f_abtast periodisch sind.

Beispiel Töne

Das erste Klangbeispiel lässt einen Ton erklingen, dessen Frequenz von ca. 100 Hz bis über 8000 Hz linear_zunimmt (die Original-Abtastfrequenz von 16 kHz wurde bei der Transformation in das Ogg-Vorbis Format auf 42 kHz heraufgesetzt). Das zweite Beispiel gibt fast das gleiche Signal wieder, diesesmal mit 8000 Hz abgetastet. Durch Unterabtastung werden Töne oberhalb von 4000 Hz falsch ausgelesen mit dem Ergebnis, dass eine Tonhöhe aufgezeichnet wird, die abfällt, statt zu steigen.

• Linear' target='blank'>ansteigender Ton (16 kHz Abtastung)]
• ansteigender Ton (8 kHz Abtastung)]

Modifizierte Formel für praktische Anwendung

In der Praxis gibt es (prinzipiell aus Gründen der Kausalität) keinen idealen DAT, DVD) und 2,56 (FFT-Analysatoren)

Überabtastung

Wenn man eine höhere Abtastfrequenz wählt, erhält man keine zusätzlichen Informationen. Der Aufwand für Verarbeitung, Speicherung und Übertragung steigt jedoch. Trotzdem wird Überabtastung (oversampling) häufig angewendet.

Liegt nämlich die Nutzbandbreite B sehr nahe bei der halben Abtastfrequenz, so werden sehr hohe Anforderungen an die Flankensteilheit des Tiefpassfilters gestellt. Diese analogen Filter können häufig nur mit großem Aufwand abgeglichen werden.

Überabtastung erlaubt es, die Anforderungen an das analoge Tiefpassfilter drastisch zu reduzieren, indem die steilflankige Bandbegrenzung auf ein präzises Digitalfilter hoher Ordnung verlagert wird. (In der Praxis wird häufig ein Überabtastungsfaktor $M\; =\; 2$ oder $M\; =\; 4$ gewählt).

Somit braucht man weniger steile analoge Filter vor dem Abtasten. Nach der Abtastung wird dann das digitale Filter angewendet und gleichzeitig die Abtastfrequenz reduziert. Das digitale Filter wird auch als Dezimationsfilter bezeichnet.

Mathematisch ausgedrückt hat ein ideales Tiefpassfilter eine Rechteckfunktion als Frequenzantwort (Übertragungsfunktion oder Frequenzgang), die nur die Werte 0 und 1 annimmt und den Bereich [-B,B] der Nutzbandbreite markiert.

+---+
/'> |
----+ +----
-B B

Schneidet man mit einer solchen Filterfunktion im Claude Elwood Shannon: [http://www.stanford.edu/class/ee104/shannonpaper.pdf Communication in the Presence of Noise; In: Proc. IRE, Vol. 37, No. 1 (Jan. 1949), Nachdruck in: Proc.. IEEE, Vol. 86, No. 2, (Feb. 1998)
• J. M. Whittaker: The Fourier theory of the cardinal functions, Proc. Edinburgh Math. Soc. 1 (1929)
*[3 V. A. Kotelnikow: On the transmission capacity of ?ether? and wire in electrocommunications, Izd. Red. Upr. Svyazzi RKKA (1933)
*Harry Nyquist: [http://www.comelec.enst.fr/~rodrigez/CNTI/images/nyquist.pdf Certain Topics in Telegraph Transmission Theory],Trans. Amer. Inst. Elect. Eng. 47, pp. 617-644(1928). Nachdruck in: Proc.. IEEE, Vol. 90, No. 2, (Feb. 2002)
*J. R. Higgins: Five short stories about the cardinal series, Bulletin of the AMS 12 (1985)
*Michael Unser: [http://bigwww.epfl.ch/publications/unser0001.html Sampling-50 Years after Shannon]
*Artikel ?Signalabtastung? in Funkamateur 5/2004, S. 457

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