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Distanzfunktion

Distanzfunktionen und Ähnlichkeitsmaße beschreiben den Grad der Übereinstimmung von Vektoren.

In typischen Anwendungen stellen die Vektoren Folgen von Messwerten dar. Ähnlichkeitsmaße werden in Auswertemethoden wie dem Vektorraum-Retrieval und dem Clustering benutzt.

Als Distanzfunktion lassen sich verschiedene Metriken verwenden. Distanzfunktionen werden oft auch unpräzise als Metrik bezeichnet; nicht alle Distanzfunktionen sind jedoch Metriken im streng mathematischen Sinne.

Häufig verwendete Distanzfunktionen

L_p-Distanz oder Minkowski-Metrik

$L\_p(x,y)\; =\; \backslash sqrt[p]\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; /\text{'}>x\_i-y\_i|^p\},\; \backslash quad\; x,y\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^n$

Die nachfolgenden Distanzfunktionen (City-Block-Distanz, Euklidische Distanz und Maximum-Distanz) stellen Spezialfälle der L_p-Distanz da

Normierter Raum
Siehe auch: Manhattan-Metrik

Euklidischer Abstand

$d(x,y)\; =\; L\_2(x,y)\; =\; /\text{'}>x-y|\; =\; \backslash sqrt\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; (x\_i-y\_i)^2\}$

Maximum- bzw. Mahalanobis-Distanz.

Häufig verwendete Ähnlichkeitsmaße

Kosinus-Ähnlichkeitsmaß

Es wird ein Vektorraum über den reellen Zahlen vorausgesetzt.

Die Distanz ist der Kosinus des Winkels $\backslash alpha$(x,y) zwischen den Vektoren x und y.

$d(x,y)\; =\; \backslash cos\; \backslash alpha\; (x,y)\; =\; \backslash frac\{x\; \backslash cdot\; y\}\; =$
\frac {\sum_{i=1}^n x_i y_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}}


Dabei bezeichnet $|x|\; =\; \backslash |x\backslash |\_2$ die euklidsche Norm.

Dice-Ähnlichkeitsmaß

$d(x,y)\; =$
\frac {2 x \cdot y}{ x^2 + y^2 } =
\frac {2 \sum_{i=1}^n x_i y_i}
{\sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1}^n y_i^2}


Dabei ist $x^2\; =\; x\; \backslash cdot\; x\; =\; \backslash langle\; x,\; x\; \backslash rangle$.

Jaccard- (oder Tanimoto)-Ähnlichkeitsmaß ===

$d(x,y)\; =$
\frac {x \cdot y}{ x^2 + y^2 - x \cdot y} =
\frac {\sum_{i=1}^n x_i y_i}
{\sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1}^n y_i^2 - \sum_{i=1}^n x_i y_i}

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