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Betragsfunktion

In der Mathematik ordnet die Betragsfunktion einer reellen oder komplexen_Zahl ihren Abstand zur Null zu. Dieser sogenannte absolute Betrag, Absolutbetrag oder auch schlicht Betrag ist immer eine nichtnegative, reelle Zahl.

Die Betragsfunktion ist überall stetig, jedoch in 0 nicht differenzierbar.

Übliche Notationen für die Betragsfunktion sind
:$\backslash operatorname\{abs\}:\backslash Bbb\; C\backslash to\; \backslash R\_0^+,\; x\backslash mapsto\; \backslash operatorname\{abs\}(x)$
und
:$|\backslash cdot|:\backslash Bbb\; C\backslash to\; \backslash R\_0^+,\; x\backslash mapsto\; |x|$.
frame|Verlauf_der_Absolutbetragsfunktion_auf_$\backslash R$

Für eine komplexe Zahl $z=a+\backslash mathrm\{i\}\backslash ,b$ ist
: $|z|\; =\; \backslash sqrt\{z\; \backslash cdot\; \backslash bar\; z\}\; =\; \backslash sqrt\{(a\; +\; \backslash mathrm\{i\}\backslash ,b)\; \backslash cdot\; (a\; -\; \backslash mathrm\{i\}\backslash ,b)\}\; =\; \backslash sqrt\{a^2\; +\; b^2\}$,
wobei $\backslash bar\; z$ die komplex_Konjugierte von $z$ bezeichnet.

Für reelle Zahlen (Fall b=0) ergibt sich die Zuordnung
:$|x|\; =$
\begin{cases}
\ \;\, x &\mathrm{f\ddot ur}\ x \ge 0\\
-x &\mathrm{f\ddot ur}\ x < 0
\end{cases}

Betrag und Metrik

Über den Betrag kann man eine Abstandsfunktion (Metrik) definieren:
Der Abstand $d(x,\; y)$ zweier Zahlen $x$ und $y$ ist der Betrag ihrer Differenz $|x\; -\; y|$.

Ist der Betrag nichtarchimedisch (siehe unten), dann ist die erzeugte Metrik eine Ultrametrik.

Beispiele

Ausgehend von der Gleichung $/\text{'}>x+3|\; =\; 5$ sind alle $x\backslash in\backslash R$ gesucht, die diese erfüllen.

Man rechnet wie folgt:
:$|x+3|\; =\; 5$
:$\backslash Leftrightarrow\; x+3\; =\; 5$ oder $x+3\; =\; -5$
:$\backslash Leftrightarrow\; x\; =\; 5-3$ oder $x\; =\; -5-3$
:$\backslash Leftrightarrow\; x\; =\; 2$ oder $x\; =\; -8$

Die Gleichung wird also genau durch 2 und -8 gelöst.

Verallgemeinerung: Betrag und Bewertung

Verallgemeinert spricht man von einem Betrag, wenn eine Funktion |·| von einem Dreiecksungleichung)
Gilt zudem
:4.$/\text{'}>x\; +\; y|\backslash leq\backslash max(|x|,|y|)$

so spricht man von einem ultrametrischen oder nichtarchimedischen, andernfalls von einem archimedischen Betrag.
Die oben genannte Betragsfunktion auf den reellen bzw. komplexen Zahlen ist archimedisch. Da 3. aus 4. folgt, nennt man 4. auch die verschärfte Dreiecksungleichung. Nichtarchimedische Beträge spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der Bewertung auf K.

Umgekehrt kann man einer Bewertung v einen nichtarchimedischen Betrag zuordnen, indem man für eine reelle Zahl $b>1$ setzt: $|x|\; =\; b^\{-v(x)\}$.

Weitere Verallgemeinerungen

Der Absolutbetrag ist eine spezielle Norm; den Begriff Norm kann man als eine Verallgemeinerung des Absolutbetrags verstehen.

Eine Abschwächung der Axiome für den Betrag führt auf den Begriff des Pseudobetrags.

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