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Absolute Stetigkeit

Absolute Stetigkeit reeller Funktionen

In der Mathematik heißt eine reellwertige Funktion $f$ absolut stetig, falls für jede Zahl $\backslash varepsilon>0$ eine Zahl $\backslash delta>0$ existiert, welche klein genug ist, so dass für jede Folge paarweise disjunkter Intervalle $[x\_k,y\_k],\backslash \; k=\; 1,\backslash ldots,n$, die der Bedingung

:

genügen, die folgende Beziehung gilt:

:.

Jede absolut stetige Funktion ist gleichmäßig stetig und damit insbesondere stetig. Andererseits ist jede Lipschitz-stetige Funktion auch absolut stetig.

Die Cantor-Lebesgue-Funktion ist ein Beispiel für eine überall stetige, aber nicht absolut stetige Funktion.

Absolut stetige Funktionen sind fast überall differenzierbar und diese Ableitung stimmt mit der schwachen_Ableitung überein.

Absolute Stetigkeit von Maßen

Sind $\backslash mu$ und $\backslash nu$ Maße auf der ?-Algebra $\backslash mathcal\; A$, so bezeichnet man $\backslash mu$ als absolut stetig (oder kurz: stetig) bezüglich $\backslash nu$, falls für alle $A\backslash in\backslash mathcal\; A$ gilt:
:$\backslash nu(A)=0\backslash Rightarrow\backslash mu(A)=0$.
Man schreibt kurz $\backslash mu\backslash ll\backslash nu$ und spricht auch alternativ davon, dass $\backslash nu$ das Maß $\backslash mu$ dominiert.

Ein Maß $\backslash mu$ ist genau dann absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes auf den Borel-Mengen der reellen Zahlen, wenn

:$F(x)=\backslash mu((-\backslash infty,x])$

eine absolut stetige reelle Funktion ist.

Anwendungsbereiche

* In der Theorie der optimalen_Steuerungen wird bislang gefordert, dass die Lösungstrajektorien absolut stetig sind.

* Der Satz von Radon-Nikodym besagt, dass, falls $\backslash mu$ absolut stetig bezüglich $\backslash nu$ ist und $\backslash nu$ ?-endlich ist, dann $\backslash mu$ eine Dichtefunktion, manchmal auch Radon-Nikodym-Ableitung genannt, bezüglich $\backslash nu$ besitzt, d.h. es gibt eine messbare_Funktion $f$ in $[0,\backslash infty]$, die wir mit $f=\backslash frac\{d\backslash mu\}\{d\backslash nu\}$ bezeichnen, so dass für jede messbare_Menge A gilt:
:$\backslash mu(A)=\backslash int\_A\; f\backslash ,d\backslash nu$.
Dieser Zusammenhang ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie von fundamentaler Bedeutung.

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