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Abschätzung

Obere Abschätzung und untere Abschätzung sind mathematische Fachbegriffe für Hilfsgrößen im Zusammenhang mit Ungleichungen.

Eine obere Abschätzung für eine Größe $A$ ist eine andere Größe $B$, wenn gezeigt werden kann, dass gilt: $B\backslash ge\; A$.

Entsprechend nennt man $B$ eine untere Abschätzung für $A$, wenn mit Sicherheit gilt $B\backslash le\; A$.

Dabei ist $A$ (oft auch $B$) in der Regel ein Ausdruck, der von anderen Größen abhängig ist.
Die Bedingung muss dann unabhängig von diesen im gesamten Definitionsbereich gültig sein.
Hier kommen bei Bedarf Überlegungen der Art zum Einsatz, wie sie in der Intervallarithmetik ? etwa bei der Fehlerrechnung ? angewandt werden.

Der Begriff ?Abschätzung? bedeutet in diesem Zusammenhang also keinen Verzicht an Zuverlässigkeit. Er hat mit dem gängigen Begriff des Schätzens nur insofern zu tun, als dass die Abschätzung von dem ?abgeschätzten? Wert abweichen kann ? unter Umständen sogar sehr weit, solange es nur in die richtige Richtung erfolgt.

Verwendung

Das Finden einer Abschätzung kann für sich genommen schon interessant sein, es wird aber oft als Hilfsmittel zum Beweis von Ungleichungen benutzt.
Man macht sich dabei die Transitivität der Größer-/ Kleiner-Beziehung zu Nutze.

Kennt man für $A$ eine obere Abschätzung $B$, kann man den Beweis von $A\backslash le\; C$ auf den Beweis für $B\backslash le\; C$ zurückführen; auch kann man damit den Beweis von
Entsprechend kann man $A>C$ oder $A\backslash ge\; C$ zeigen, wenn $B$ eine untere Abschätzung für $A$ ist, und $B>C$ bzw. $B\backslash ge\; C$ gezeigt werden kann.

Scheitert dieser Ansatz mit einem bestimmten $B$, ist dadurch die zu beweisende Ungleichung nicht widerlegt; möglicherweise braucht man nur eine strengere Abschätzung, weil die verwendete zu weit von $A$ abweicht.

Beispiele

Im Prinzip ist jede zahlenmäßige ?worst-case?-Angabe, wie sie auch im Alltag vorkommt, eine Art untere oder obere Abschätzung.

Abschätzungen sind beispielsweise die Grundlage für Divergenzbeweise mit dem Minorantenkriterium wie dem für $\backslash sum\_\{i=2\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{i\}$ mithilfe der Minorante $\backslash sum\_\{i=2\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{2^\{\backslash lceil\; log\_2(i)\backslash rceil\}\}$.

Anschaulich dargestellt überlegt man sich dabei Folgendes:

Es soll gezeigt werden, dass man mit einer Summe fortlaufender Stammbrüche $A\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{5\}\; +\; \backslash cdots\; +\; \backslash frac\{1\}\{k\}$ jede beliebig große natürliche Zahl $N$ durch Wahl eines geeigneten $k$ übertreffen kann.

Dazu bildet man eine andere Summe $B$ von Stammbrüchen, bei dem jedem Summanden in $A$ mit dem Nenner $i$ ein Summand mit der nächsten nicht kleineren Zweierpotenz entspricht.
Da der Nenner in der neuen Summe gleich oder größer dem entsprechenden Nenner in der ursprünglichen ist, ist der Bruch gleich oder kleiner, und damit auch die gesamte Summe (gleich oder) kleiner.
Sie ist eine untere Abschätzung von $A$.

Die Abschätzung ist nun aber so gewählt, dass man immer endliche Teilstücke der Reihe zu ½ zusammenfassen kann: Wählt man $k\; =\; 2^\{2N+1\}$, so hat man $2N+1$ solche Teilstücke; $B$ summiert sich also auf $N+\backslash frac\{1\}\{2\}$.
Somit ist $A$ erst recht größer als $N$.

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