Differentialrechnung
Die Differential- bzw. Differenzialrechnung ist ein Gebiet der Mathematik und ein wesentlicher Bestandteil der Analysis. Sie ist eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird. Zentrales Thema der Differenzialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen.Hierzu dient die Ableitung, deren geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Die Ableitung ist der Proportionalitätsfaktor zwischen verschwindend kleinen (infinitesimalen) Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultierenden, ebenfalls infinitesimalen Änderungen des Funktionswertes. Existiert ein solcher Proportionalitätsfaktor, so nennt man die Funktion differenzierbar. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als diejenige lineare Abbildung definiert, die unter allen linearen Abbildungen die Änderung der Funktion lokal am besten approximiert. Entsprechend wird die Ableitung auch die Linearisierung der Funktion genannt.
In vielen Fällen ist die Differentialrechnung zur Bildung von mathematischen_Modellen, die versuchen die Wirklichkeit abzubilden, sowie deren nachfolgender Analyse ein unverzichtbares Hilfsmittel. Die Entsprechung der Ableitung im untersuchten Sachverhalt ist häufig die momentane Änderungsrate, in den Wirtschaftswissenschaften spricht man auch häufig von Grenzraten (z. B. Grenzkosten, Grenzproduktivität eines Produktionsfaktors etc.).
Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: Differenzenquotient, Differenzialquotient, Differentiation, stetig differenzierbar, glatt, partielle Ableitung, totale Ableitung, Reduktion des Grades eines Polynoms.
Einleitung
Der Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion.
In geometrischer Sprache ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Der geometrische Begriff Steigung ist ursprünglich nur für lineare Funktionen definiert, deren Funktionsgraph eine Gerade ist. Die Ableitung einer beliebigen Funktion definiert man als die Steigung einer Tangente, die man an den Funktionsgraphen anlegt ? wobei dieser Graph in der Regel an verschiedenen Stellen verschiedene Tangenten hat.
In arithmetischer Sprache gibt die Ableitung einer Funktion für jedes an, wie sich verändert, wenn sich um einen infinitesimal kleinen Betrag .
Differentialgleichungen
:Hauptartikel: Differentialgleichungen.
Beispielsweise verknüpft das Newtonsche_Bewegungsgesetz
:
die Beschleunigung eines Körpers mit seiner Masse und der auf ihn einwirkenden Kraft . Das Grundproblem der Mechanik lautet deshalb, aus einer gegebenen Beschleunigung auf die Ortsfunktion eines Körpers zurückzuschließen. Diese Aufgabe, eine Umkehrung der zweifachen Differentiation, hat die mathematische Gestalt einer Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die mathematische Schwierigkeit dieses Problems rührt daher, dass Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektoren sind, die im allgemeinen nicht in die gleiche Richtung zeigen, und dass die Kraft ? je nach Anwendungsfall ? von der Zeit oder/und vom Ort abhängen kann.
Da viele Anwendungen mehrdimensional sind, sind dort partielle Ableitungen sehr wichtig, mit denen sich partielle Differentialgleichungen formulieren lassen. Mathematisch kompakt werden diese mittels Differentialoperatoren beschrieben und analysiert.
Literatur
Schulbücher
* Differentialrechnung ist ein zentraler Unterrichtsgegenstand in der Sekundarstufe II und wird somit in allen Mathematik-Lehrbüchern behandelt.
Lehrbücher für Studenten der Mathematik und benachbarter Fächer
(Physik, Informatik)
Henri Cartan: Differentialrechnung. Bibliographisches Institut, Mannheim 1974. ISBN 3-411-01442-3
Henri Cartan: Differentialformen. Bibliographisches Institut, Mannheim 1974. ISBN 3-411-01443-1
Henri Cartan: Elementare Theorien der Analytischen Funktionen einer und mehrerer Komplexen Veränderlichen. Bibliographisches Institut, Mannheim 1966, 1981. ISBN 3-411-00112-7
Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. 2 Bde. Springer 1928, 41971. ISBN 3-540-02956-7
Jean Dieudonné: Grundzüge der modernen Analysis. Bd 1. Vieweg, Braunschweig 1972. ISBN 3-528-18290-3
Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg, Braunschweig 72004. ISBN 3-528-67224-2
* Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im R'n. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg, Braunschweig 62005. ISBN 3-528-47231-6
Konrad Königsberger: Analysis. 2 Bde. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
* Steffen Timmann: Repetitorium der Analysis. 2 Bde. Binomi, Springe 1993. ISBN 3-923923-50-3, ISBN 3-923923-52-X
Lehrbücher für Studenten mit Nebenfach/Grundlagenfach Mathematik
(z. B. Studenten der Ingenieur- oder Naturwissenschaften)
* Rainer Ansorge, Hans Joachim Oberle: Mathematik für Ingenieure. Bd 1. Akademie-Verlag, Berlin 1994, ³2000. ISBN 3-527-40309-4
* Günter Bärwolff (unter Mitarbeit von G. Seifert): Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, München 2006. ISBN 3-8274-1688-4
* Lothar Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Bd 1. Vieweg, Wiesbaden 2004. ISBN 3-528-44355-3
* Klaus Weltner: Mathematik für Physiker''. Bd 1. Springer, Berlin 2006. ISBN 3-540-29842-8
Weblinks
• Tool zur Bestimmung von Ableitungen beliebiger Funktionen
• Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung (benötigt JavaScript)
• Grundidee des Differenzierens - Filmclip
• Anschauliche Erklärung von Ableitungen
• Erklärung der Differentialrechnung für Schüler
• 50-Ableitungsbeispiele für Funktionenlmo:Derivada
ug:?????????????
