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Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix (nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix genannt) einer differenzierbaren Funktion $f\backslash colon\; \{\backslash mathbb\{R\}^n\}\; \backslash to\; \{\backslash mathbb\{R\}^m\}\; \backslash ,\backslash !$ ist die $m\; \backslash times\; n$-Matrix sämtlicher erster partieller_Ableitungen. Genutzt wird sie z. B. in der näherungsweisen Berechnung/Approximation oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Die Jacobi-Matrix bildet die Matrix-Darstellung der ersten Ableitung der Funktion $f$. Sie wird mit $J\_f$, $Df$ oder $\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\}$ bezeichnet.

Bezeichnet man die Koordinaten im Urbildraum $\backslash R^n$ mit $x\; =\; (x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n)$ und die Komponentenfunktionen von $f$ mit $f\_1,\; \backslash dots,\; f\_m$, so lautet die Jacobi-Matrix
:$J\_f\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; f\_i\}\{\backslash partial\; x\_j\}\backslash right)\_\{i=1,\backslash ldots,m;\backslash \; j=1,\backslash ldots,n\}$,

beziehungsweise ausführlich

:$J\_f\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \{f\}\}\{\backslash partial\; \{x\}\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix}.

Sie kann, wenn man sie für einen Punkt $p\; =\; (p\_1,\backslash dots,p\_n)$ ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von $f$ in der Nähe von $p$ verwendet werden:

:$$
f(x_1,\dots,x_n) \approx f(p_1,\dots,p_n) + J_f(p_1,\dots,p_n)
\begin{pmatrix}x_1 - p_1 \\ \vdots \\ x_n - p_n \end{pmatrix}.


Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung.

Für $m\; =\; 1$ entspricht die Jacobi-Matrix dem Gradienten von $f$. Je nach Definition des Gradienten, der manchmal als Zeilenvektor und manchmal als Spaltenvektor definiert wird, unterscheidet sich jedoch in diesem Fall die Jacobi-Matrix als Zeilenvektor vom Gradienten.

Ein Beispiel für eine Rechnung mit der Jacobi-Matrix ist die Transformation in Polarkoordinaten.

Jacobideterminante

Die Determinante der Jacobi-Matrix spielt z. B. bei Transformationen von Integralen eine wichtige Rolle und wird Funktionaldeterminante genannt.

Für den Fall $m=n$ ist $f$ eine $n\; \backslash times\; n$-Abbildung und die Jacobi-Matrix ist quadratisch. Hierfür kann man dann die Jacobi-Determinante berechnen.

Diese Determinante gibt zu einem gegebenen Punkt wichtige Informationen über das Verhalten der Funktion $f$ in der Nähe dieses Punktes. Wenn beispielsweise die Jacobideterminante einer stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $p$ nicht null ist, so ist die Funktion in einer Umgebung von $p$ invertierbar. Weiterhin gilt, dass bei positiver Determinante in $p$ die Funktion ihre Orientierung beibehält und bei negativer Jacobideterminante die Orientierung umkehrt. Der absolute Wert der Determinante im Punkt $p$ gibt den Wert an, mit dem die Funktion in der Nähe von $f$ expandiert oder schrumpft.

Siehe auch

*Hesse-Matrix

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