Abgeschlossene Menge
In dem Teilgebiet Topologie der Mathematik ist eine abgeschlossene Menge eine Teilmenge eines topologischen, metrischen oder euklidischen Raums X, deren Komplement X' '\' 'M eine offene Menge ist. Anschaulich ist eine Menge M abgeschlossen, wenn der Rand von M ganz zu M gehört. Das ist gleichbedeutend mit folgender Eigenschaft: Ist eine Folge von Elementen aus M, die in X konvergiert, dann liegt der Grenzwert in M.Ein einfaches Beispiel ist das Intervall [0, 1] in den reellen_Zahlen. Das Komplement von [0, 1] ist die Vereinigung zweier offener Intervalle, also eine offene Menge, also ist [0, 1] eine abgeschlossene Menge. Deshalb nennt man das Intervall [0, 1] ein abgeschlossenes Intervall. Dagegen ist das Intervall (0, 1] nicht abgeschlossen, denn das Komplement ist nicht offen.
Ob eine Menge abgeschlossen ist oder nicht, hängt von dem Raum ab, in dem sie liegt. Die Menge der rationalen Zahlen x mit bildet eine abgeschlossene Menge in den rationalen_Zahlen, aber nicht in den reellen Zahlen.
Eine kompakte_Teilmenge eines Hausdorff-Raumes ist dagegen stets abgeschlossen.
Beachte, dass der Begriff ?offene Menge? nicht das Gegenteil von ?abgeschlossene Menge? ist. Es gibt Mengen, die weder abgeschlossen noch offen sind, wie das Intervall (0, 1], und Mengen, die beides sind, wie die leere Menge. (Solche Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, werden als abgeschlossene offene Menge oder nach dem englischen Begriff als clopen Menge bezeichnet, seltener als abgeschloffen.)
Der Begriff der abgeschlossenen Menge lässt sich auf verschiedenen Abstraktionsstufen definieren. Wir betrachten hier den anschaulichen euklidischen_Raum, den metrischen_Raum und den topologischen_Raum.
Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie ihren Rand als Teilmenge enthält.
Euklidischer Raum
Definition
Ist U eine Teilmenge des n-dimensionalen euklidischen_Raums , dann nennt man U abgeschlossen, falls gilt:
:Für jedes x des außerhalb von U gibt es eine reelle Zahl ? > 0, so dass jeder Punkt y des , dessen Abstand zu x kleiner ist als ?, ebenfalls außerhalb von U liegt.
Erläuterung
Beachte, dass das ? vom Punkt x abhängt, d.h. für verschiedene Punkte gibt es verschiedene ?. Anschaulich ist die Menge der Punkte, deren Abstand von x kleiner ist als ?, eine Kugel, und zwar nur das Innere ohne die Oberfläche. Man nennt sie deshalb auch eine offene Kugel. (Im ist diese Kugel das Innere eines Kreises.)
Die Menge aller Punkte, deren Abstand von einem Punkt x kleiner oder gleich einer positiven Zahl r ist, ist auch eine Kugel, man nennt sie abgeschlossene Kugel, da sie die Definition einer abgeschlossenen Menge erfüllt.
Eigenschaften
Ist M eine abgeschlossene Teilmenge des und eine Folge von Elementen von M, die im konvergiert, dann liegt der Grenzwert von ebenfalls in M.
Diese Eigenschaft kann benutzt werden, um abgeschlossene Teilmengen des zu definieren.
Jede abgeschlossene Menge U vom lässt sich als Durchschnitt von abzählbar vielen offenen Mengen darstellen. Zum Beispiel ist das abgeschlossene Intervall [0,1] der Durchschnitt der offenen Intervalle (-1/n, 1 + 1/n) für alle natürlichen Zahlen n.
Metrischer Raum
Definition
Sei (X,d) ein metrischer Raum und U eine Teilmenge von X. Dann nennt man U abgeschlossen, wenn gilt:
:Für jedes x aus X\U gibt es eine reelle Zahl ? > 0, so dass für jeden Punkt y aus X gilt: Aus d(x,y) < ? folgt, dass y in X\U liegt.
Auch hier hängt die Wahl von ? von x ab.
Abgeschlossene Kugel
In Analogie zum euklidischen Raum nennt man die Menge der Punkte y, deren Abstand d(x,y) zu x kleiner oder gleich ? ist, eine abgeschlossene Kugel. Formal schreibt man
:
und nennt diese Menge die abgeschlossene Kugel in X mit Mittelpunkt x und reellem Radius r>0.
Bei der abgeschlossenen Kugel wird der Rand bzw. die Hülle der Kugel mit einbezogen: Alle y der Grundmenge X die zum Mittelpunkt x einen Abstand haben, der kleiner oder gleich r ist, gehören zur Kugel. (Beachte die im Artikel Durchschnitt beliebig vieler (also auch unendlich vieler) abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
Topologischer Raum
Um abgeschlossene Mengen in einem noch allgemeineren Kontext zu definieren, muss man das Konzept der Kugel fallen lassen. Man bezieht sich stattdessen nur auf die Offenheit des Komplements.
:Ist X ein topologischer Raum und U eine Teilmenge von X, dann heißt U abgeschlossen, wenn das Komplement X \ U eine offene Menge ist.
Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der Definition für metrische Räume.
Abgeschlossene Hülle
Für jede Teilmenge U eines euklidischen, metrischen oder topologischen Raumes gibt es stets eine kleinste abgeschlossene Obermenge von U, diese heißt abgeschlossene Hülle, auch Abschließung oder Abschluss von U. Sie ist der Durchschnitt aller abgeschlossenen Obermengen von U. Sie ist die Vereinigung der Menge U mit ihrem Rand.
