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Abgeschlossene Hülle

In der Topologie und der Analysis ist die abgeschlossene Hülle (auch Abschließung oder Abschluss) einer Teilmenge $U$ eines topologischen oder metrischen_Raums die kleinste abgeschlossene Obermenge von $U$.

Definition

Ist $X$ ein topologischer Raum, also beispielsweise ein metrischer Raum mit der durch die Metrik induzierten Topologie, so ist die abgeschlossene Hülle oder der Abschluss einer Teilmenge $U\backslash subseteq\; X$ der Durchschnitt $\backslash bar\; U$ aller abgeschlossenen_Teilmengen von $X$, die $U$ beinhalten. Die Menge $\backslash bar\; U$ ist selbst abgeschlossen, also ist sie die kleinste abgeschlossene Obermenge von $U$.

Ein Punkt $b\backslash in\; X$ heißt Berührpunkt von $U$, wenn in jeder Umgebung von $b$ mindestens ein Element von $U$ enthalten ist. $\backslash bar\; U$ besteht genau aus den Berührpunkten von $U$.

Der Abschluss als Menge von Grenzwerten

Erfüllt $X$ das erste Abzählbarkeitsaxiom (dies gilt beispielsweise dann, wenn $X$ ein metrischer Raum ist), so ist $\backslash bar\; U$ die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in $U$ liegen.

Ist $X$ ein beliebiger topologischer Raum, so ist der Abschluss einer Teilmenge $U\backslash subseteq\; X$ die Menge der Grenzwerte konvergenter Netze, deren Glieder in $U$ liegen.

Abschluss von Kugeln in metrischen Räumen

Es sei $X$ ein metrischer Raum mit Metrik $d$. Man beachte, dass im Allgemeinen die abgeschlossene Hülle $\backslash overline\{B(x,r)\}$ einer offenen Kugel
:
mit Radius $r$ und Mittelpunkt $x\backslash in\; X$ nicht dasselbe ist wie die abgeschlossene Kugel
:$\backslash bar\; B(x,r)=\backslash \{y\backslash in\; X\backslash mid\; d(x,y)\backslash leq\; r\backslash \}.$
Da die abgeschlossene Kugel eine abgeschlossene Menge ist, die die offene Kugel enthält, enthält sie auch ihren Abschluss:
:$\backslash overline\{B(x,r)\}\; \backslash subseteq\; \backslash overline\{B\}(x,r)$
Um ein Beispiel zu geben, in dem diese Inklusion echt ist, sei X eine Menge (mit mindestens zwei Elementen), auf der eine Metrik durch
:
0&\mathrm{f\ddot ur}\ x=y\end{matrix}\right.
definiert ist. Dann gilt für jedes $x\backslash in\; X$:
:$\backslash \{x\backslash \}\; =\; B(x,1)\; =\; \backslash overline\{B(x,1)\}\; \backslash subsetneq\; \backslash overline\{B\}(x,1)\; =\; X.$

Darüberhinaus gibt es auch metrische Räume, in dem für einen Punkt x und einen Radius r beide Inklusionen gleichzeitig echt sind:
:$B(x,r)\; \backslash subsetneq\; \backslash overline\{B(x,r)\}\; \backslash subsetneq\; \backslash overline\{B\}(x,r)$

Ein Beispiel ist die Menge $X\; =\; \backslash \{(a,0)|a\backslash in\backslash mathbb\{R\},-1\; \backslash leq\; a\; \backslash leq\; 1\backslash \}\; \backslash cup\; \backslash \{(0,1)\backslash \}$ mit der vom euklidischen Raum $\backslash mathbb\{R\}^2$ induzierten Metrik. Hier erfüllt $x=(0,0),r=1$ die angegebene Inklusionsbedingung:
:
:$\backslash overline\{B(x,r)\}\; =\; \backslash \{(a,0)|a\backslash in\backslash mathbb\{R\},-1\; \backslash leq\; a\; \backslash leq\; 1\backslash \}\; \backslash subsetneq$
:$\backslash overline\{B\}(x,r)\; =\; \backslash \{(a,0)|a\backslash in\backslash mathbb\{R\},-1\; \backslash leq\; a\; \backslash leq\; 1\backslash \}\; \backslash cup\; \backslash \{(0,1)\backslash \}\; =\; X$

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