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Abgeschlossenheit

In der Mathematik tritt der Begriff Abgeschlossenheit in mehreren Bedeutungen auf, die alle in etwa besagen, dass das betreffende Objekt mit den jeweils betrachteten Mitteln nicht erweitert werden kann. Eine Abstraktion dieser Erweiterungsprozesse ist der Begriff des Hüllenoperators.

Abgeschlossene Menge

Ist M eine Teilmenge eines topologischen_Raums A, dann heißt M abgeschlossen, wenn ihr Komplement A\M eine offene Menge in A ist.

Für einen metrischen Raum ist folgende Bedingung äquivalent:

Eine Teilmenge M eines metrischen_Raums A ist abgeschlossen, falls der Grenzwert jeder konvergenten Folge mit Werten aus M wiederum in M liegt.

D. h. ist $(a\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\{N\}\}\; \backslash subset\; M$ konvergent in A, dann ist $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}a\_n\backslash in\; M$

Siehe auch den eigenen Artikel über abgeschlossene Mengen.

Abgeschlossen bezüglich einer Verknüpfung

Ist $*$ eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge $A$, dann heißt das, $*$ ist eine Funktion von $A\; \backslash times\; A$ nach $A$. Ist nun $M$ eine Teilmenge von $A$, dann heißt $M$ abgeschlossen bezüglich $*$, wenn $a\; *\; b$ in $M$ liegt für alle a, b aus $M$, wenn also $*$ auch eine innere_zweistellige_Verknüpfung auf $M$ ist.

Hat man Strukturen mit mehreren Verknüpfungen, dann hat man auch einen Begriff der Abgeschlossenheit bezüglich all dieser Verknüpfungen.

Beispiele:
* Eine Untergruppe ist eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe $(G,+)$, die abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung $*$ und der Inversenbildung ist.
* Ein Untervektorraum ist eine nichtleere Teilmenge eines Vektorraums $V$, die abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation ist.

Die Wichtigkeit der Abgeschlossenheit bezüglich einer Verknüpfung lässt sich am besten verstehen, wenn man Beispiele betrachtet, in denen sie verletzt ist.
* So ist $(\backslash mathbb\; N,+)$ als Unterstruktur der Gruppe $(\backslash mathbb\; Z,+)$ nicht abgeschlossen, also keine Untergruppe. Diese Teilmenge ist zwar bezüglich der Addition abgeschlossen, nicht aber bezüglich der Inversenbildung, da für $a\; >\; 0$ das Negative $-a$ eine ganze Zahl ist, die kleiner als 0 ist, also nicht in $\backslash mathbb\; N$ liegt.
*Der Durchschnitt zweier Untervektorräume eines Vektorraums ist stets selbst ein Untervektorraum, jedoch ist die Vereinigung zweier Untervektorräume nicht notwendig ein Untervektorraum. Die Vereinigung ist zwar abgeschlossen bzgl. der skalaren Multiplikation, aber nicht unbedingt bzgl. der Vektoraddition.

Die Eigenschaft, dass die zweistellige Verknüpfung $*\; :\; A\; \backslash times\; A\; \backslash to\; A$ stets eindeutig bestimmte Werte in $A$ liefert, bezeichnet man auch als Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung.

Deduktive Abgeschlossenheit

In der klassischen Logik bezeichnet man eine Menge $F$ logischer_Formeln als deduktiv abgeschlossen, wenn die Menge aller Formeln, die aus einer der Formeln von $F$ logisch folgen, gerade die Menge $F$ ergeben, d. h. $Cn(F)\; =\; F$ wobei $Cn$ die so genannte Inferenzoperation ist, d. h. diejenige Operation, die eine Formelmenge $F$ auf die Menge von Formeln abbildet, die logisch aus $F$ folgt.

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