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Abgeleiteter Funktor

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein abgeleiteter Funktor eines links-_oder_rechtsexakten Funktors ein Maß dafür, wie weit er von der Exaktheit abweicht. Analog dazu messen die Ableitungen einer Funktion, wie sehr sie von einer konstanten Funktion abweicht.

Für den Rest dieses Artikels seien $C$ und $D$ abelsche Kategorien und $F\backslash colon\; C\backslash to\; D$ ein kovarianter linksexakter Funktor.
Im Falle eines kontravarianten und/oder rechtsexakten Funktors
gilt das Entsprechende, wobei ggf. injektive durch projektive_Objekte zu ersetzen sind.

Motivation

Ist
:$0\; \backslash to\; A\text{'}\; \backslash to\; A\; \backslash to\; A$ \to 0
exakt, so ist zwar die entsprechende Sequenz
:$0\; \backslash to\; F(A\text{'})\; \backslash to\; F(A)\; \backslash to\; F(A$)
exakt, allgemein jedoch nicht die Fortsetzung durch $\backslash to\; 0$.

Prinzipiell könnte man zwar die Sequenz ? so ist der Kokern schließlich definiert ? durch $\backslash to\; \backslash operatorname\{coker\}(F(A)\; \backslash to\; F(A$)) \to 0 exakt
fortsetzen, aber diese Fortsetzung hinge dann vom Homomorphismus $A\backslash to\; A$ ab.
Man hätte gern eine Abhängigkeit lediglich von den Objekten.

Dass nämlich bereits eines der beteiligten Objekte die Abweichung von der Exaktheit stark einschränken kann, sieht man beispielsweise in dem Fall, dass $A\text{'}$ ein injektives Objekt ist.
Dann ergibt sich nämlich, dass die Ursprungssequenz spaltet und $A$ isomorph zu $A\text{'}\; \backslash oplus\; A$ ist.
Dies überträgt sich auf die Bildsequenz, die in diesem Falle also ebenfalls eine kurze exakte Sequenz ist.

Insofern liegt die Vermutung nahe, dass man (zumindest unter geeigeten zusätzlichen Voraussetzungen) allgemein eine exakte Sequenz
:$0\; \backslash to\; F(A\text{'})\; \backslash to\; F(A)\; \backslash to\; F(A$) \to R^1F(A')
finden kann, wobei das Objekt $R^1F(A\text{'})$ funktoriell von $A\text{'}$ abhängt.
Außerdem sollte $R^1F(A\text{'})$ unter allen Kandidaten ein möglichst ?einfaches? Objekt sein; so sollte etwa $R^1F(A\text{'})=0$ gelten, wenn $A\text{'}$ injektiv ist.

Definition

Eine Folge $G^*$ von Funktoren $G^n\backslash colon\; C\backslash to\; D$ für alle $n\backslash ge\; 0$ heiße δ-Funktor,
wenn es zu jeder kurzen exakten Folge
: $0\backslash to\; A\text{'}\backslash to\; A\backslash to\; A$\to 0
natürliche Homomorphismen $\backslash delta^n\backslash colon\; G^n(A$)\to G^{n+1}(A') gibt, so dass die lange Folge
: $0\backslash to\; G^0(A\text{'})\backslash to\; G^0(A)\backslash to\; G^0(A$)\to G^1(A')\to G^1(A)\to G^1(A)\to G^2(A')\to\ldots
exakt ist.

Sei $R^*F$ universell unter den δ-Funktoren $G^*$
mit natürlicher_Transformation $F\backslash to\; G^0$, d.h. es gebe eine natürliche Transformation $F\backslash to\; R^0F$ und zu jedem $G^*$, das seinerseits eine natürliche Transformation $F\backslash to\; G^0$ besitzt, eindeutig bestimmte natürliche Transformationen $R^nF\backslash to\; G^n$ für alle $n$, so dass die entsprechenden langen exakten Folgen kompatibel sind.
Dann heißt $R^nF$ der $n$-te (rechts-)abgeleitete Funktor von $F$.

Existenz und Berechnung

Es gilt: Besitzt $C$ genügend viele injektive Objekte, so existieren die abgeleiteten Funktoren $R^nF$.

Hierbei bedeutet genügend viele injektive Objekte, dass es zu jedem Objekt $A\backslash in\; \backslash operatorname\{Ob\}(C)$ ein injektives Objekt $I\_A$ und einen Monomorphismus $A\backslash to\; I\_A$ gibt.
Es sei zu jedem $A$ ein solches $I\_A$ fest gewählt und es gelte der Einfachheit halber $I\_A=A$, falls $A$ bereits injektiv ist.

Dann können wir $R^0\; :=\; F$ setzen sowie (vgl. oben) $R^nF(I)\; :=\; 0$ für $n>0$ und injektive $I$ und erhalten dann
aus der kurzen exakten Sequenz
:$0\backslash to\; A\; \backslash to\; I\_A\; \backslash to\; I\_A/A\; \backslash to\; 0$
die zu bildende lange exakte Sequenz
:$0\backslash to\; F(A)\backslash to\; F(I\_A)\; \backslash to\; F(I\_A/A)\; \backslash to\; R^1F(A)\; \backslash to\; 0\; \backslash to\; R^1F(I\_A/A)\; \backslash to\; R^2F(A)\; \backslash to\; 0\; \backslash ldots$,
welche
:$R^1F(A):=\backslash operatorname\{coker\}(F(I\_A)\; \backslash to\; F(I\_A/A))$
sowie
:$R^\{n+1\}F(A):=R^nF(I\_A/A)$
nahelegt.

Um alle $R^nF$ zu Funktoren zu machen, muss man noch die Wirkung auf Homomorphismen untersuchen, wobei es genügt, $R^1F$ zu betrachten.
Ist $f\backslash colon\; A\; \backslash to\; B$ ein Homomorphismis, so lässt sich dieser (in nicht eindeutiger Weise!) fortsetzen, so dass man ein kommutatives Diagramm
:$\backslash begin\{matrix\}$
0\to & A &\to& I_A &\to& I_A/A &\to& 0\\
&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
0\to & B &\to& I_B &\to& I_B/B &\to& 0
\end{matrix}
erhält, welches ein Diagramm
:$\backslash begin\{matrix\}$
0\to & F(A) &\to& F(I_A) &\to& F(I_A/A) &\to& R^1F(A) &\to& 0\\
&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
0\to & F(B) &\to& F(I_B) &\to& F(I_B/B) &\to& R^1F(B) &\to& 0
\end{matrix}
induziert.
Dass hierbei wenigstens der rechte senkrechte Pfeil eindeutig ist (und somit $R^1F$ in der Tat einen Funktor definiert),
weist man durch Diagrammjagd nach. Denn falls $f$ der Nullhomomorphismus ist,
faktorisiert $I\_A/A\backslash to\; I\_B/B$ über $I\_B\backslash to\; I\_B/B$, d.h. man kann das ursprüngliche Diagramm um eine Diagonale $I\_A/A\backslash to\; I\_B$ kommutativ ergänzen, infolge dessen ebenso das zweite Diagramm um $F(I\_A/A)\backslash to\; F(I\_B)$, woraus sich wiederum rechts der Nullhomomorphismus ergibt.

Alternativ bildet man eine injektive Auflösung von $A$, d.h. eine exakte Folge
: $\backslash ldots\backslash to\; 0\backslash to\; A\backslash to\; I^0\backslash to\; I^1\backslash to\; I^2\backslash to\backslash ldots$
mit injektiven Objekten $I^n$ (z.B. $I^0\; :=\; I\_A$, $I^1\; :=\; I\_\{I^0/A\}$ etc.).
Man gewinnt dann alle $R^nF(A)$ auf einen Schlag als
die $n$-te Kohomologie des Komplexes
: $F(I^*)=(\backslash ldots\backslash to\; 0\backslash to\; F(I^0)\backslash to\; F(I^1)\backslash to\; F(I^2)\backslash to\backslash ldots)$
mit $F(I^n)$ an der $n$-ten Stelle, weshalb dies wohl die in der Literatur meistverbreitete Methode ist.

Man kann jetzt durch weitere Diagrammjagden nachweisen, dass $R^*F$ in der Tat ein δ-Funktor ist und dass er die universelle Eigenschaft hat.
Daher ist das Ergebnis insbesondere "im wesentlichen" nicht von der Wahl der injektiven Auflösung abhängig.

Entsprechend kann man Linksableitungen rechtsexakter Funktoren für Kategorien mit genügend vielen projektiven Objekten (d.h. zu jedem $A\backslash in\; \backslash operatorname\{Ob\}(C)$ existiert ein projektives $P$ und ein Epimorphismus $P\backslash to\; A$) über projektive Auflösungen berechnen.

Eigenschaften

* Allgemeiner sind $R^0F$ und $F$ lediglich natürlich äquivalente Funktoren; Gleichheit ist eine Besonderheit der ersten oben angegebenen Konstruktion.
* Ist $A$ injektiv, so ist $R^nF(A)=0$ für $n\backslash ge\; 1$.
* Ist $F$ ein exakter Funktor, so ist $R^nF$ der Nullfunktor für $n\backslash ge\; 1$.

Beispiele

Ext ist die Rechtsableitung des Funktors Hom.
Tor ist die Linksableitung des Tensorproduktes.
Garbenkohomologie ist die Rechtsableitung des Funktors globale Schnitte.
Gruppenkohomologie ist die Rechtsableitung des Funktors Invarianten.

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