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Abelsches Lemma

Das Abelsche Lemma ist ein Hilfsresultat zur Untersuchung des Konvergenzbereiches von Potenzreihen.

Aussage

Sei $P(z)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\backslash infty\; a\_k\; (z\; -\; z\_0)^k$ eine Potenzreihe. Ist $z\_1\; \backslash neq\; z\_0$ ein Punkt, für den die Folge $\backslash left\backslash \{a\_k\; (z\_1\; -\; z\_0)^k\backslash right\backslash \}\_k$ beschränkt ist, so konvergiert $P(z)$ absolut und lokal_gleichmäßig in der offenen Kreisscheibe .

Konsequenz

Aus dem Lemma folgt, dass jede Potenzreihe einen wohldefinierten Konvergenzradius hat und auf jedem Kompaktum innerhalb des Konvergenzkreises gleichmäßig konvergiert, außerhalb des Konvergenzkreises divergiert. Für Punkte auf dem Konvergenzkreis wird keine Aussage über die Konvergenz gemacht.

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