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Abelsche partielle Summation

In der Mathematik ist die abelsche partielle Summation (nach N._H._Abel) eine bestimmte Umformung einer Summe von Produkten jeweils zweier Zahlen.

Es seien $n$ eine natürliche Zahl und $a\_1,a\_2,\backslash ldots,a\_n,b\_1,b\_2,\backslash ldots,b\_n$ irgendwelche Zahlen (z. B. reelle Zahlen). Dann gilt
: $a\_1b\_1\; +\; a\_2b\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; a\_nb\_n\; =\; A\_nb\_n\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^\{n-1\}A\_k(b\_k-b\_\{k+1\})$
mit
: $A\_k\; =\; a\_1\; +\; a\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; a\_k.$
(Zur Notation siehe hier.)

Die Aussage besitzt eine gewisse formale Ähnlichkeit zur partiellen_Integration, wenn man die Entsprechung zwischen Summen und Integralen sowie zwischen Differenzen und Ableitungen berücksichtigt. Dies motiviert die Bezeichnung.

Abelsche Ungleichung

Ist $(b\_k)$ eine monoton fallende Folge mit positiven Folgegliedern, d. h. gilt
: $b\_1\backslash geq\; b\_2\backslash geq\; b\_3\backslash geq\backslash ldots\backslash geq\; b\_n>0,$
und sind die Zahlen $a\_k$ beliebig reell (oder komplex), so gilt
: $\backslash bigg|\backslash sum\_\{k=1\}^na\_kb\_k\backslash bigg|\backslash leq\; b\_1\backslash cdot\backslash max\_\{k=1,\backslash ldots,n\}|A\_k|.$
(Zur Notation ?max? siehe größtes und kleinstes Element.)

Diese Aussage folgt direkt durch Anwendung der Dreiecksungleichung auf die rechte Seite der oben angegebenen Gleichung für die abelsche partielle Summation.

Anwendungsbeispiel

Abel benutzt die Ungleichung in seiner Arbeit (siehe Quellen), um zu beweisen, dass eine Potenzreihe
: $a\_0\; +\; a\_1x\; +\; a\_2x^2\; +\; \backslash ldots,$
die für eine bestimmte positive reelle Zahl $x=x\_0$ konvergiert, auch für jede kleinere positive Zahl
: $a\_mx^m\; +\; a\_\{m+1\}x^\{m+1\}\; +\; \backslash ldots\; =\; \backslash Big(\backslash frac\; x\{x\_0\}\backslash Big)^m\backslash cdot\; a\_mx\_0^m\; +\; \backslash Big(\backslash frac\; x\{x\_0\}\backslash Big)^\{m+1\}\backslash cdot\; a\_\{m+1\}x\_0^\{m+1\}\; +\; \backslash ldots,$
und da $(x/x\_0)^k$ eine monoton fallende Folge ist, kann man die Summe auf der rechten Seite nach der abelschen Ungleichung durch
: $\backslash bigg|\backslash frac\; x\{x\_0\}\backslash bigg|^m\backslash cdot\backslash sup\_\{k\backslash geq\; m\}\backslash bigg|\backslash sum\_\{\backslash nu=m\}^k\; a\_\backslash nu\; x\_0^\backslash nu\backslash ,\backslash bigg|$
nach oben abschätzen, und die beiden Faktoren werden für großes $m$ beliebig klein.

Quellen

* H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, 9. Aufl., Stuttgart 1991. ISBN 3-519-22231-0
Niels Henrik Abel, Untersuchungen über die Reihe
:: $1+\backslash frac\; m1x+\backslash frac\{m\backslash ,.\backslash ,(m-1)\}\{1\backslash ,.\backslash ,2\}\backslash ,.\backslash ,x^2+\backslash frac\{m\backslash ,.\backslash ,(m-1)\backslash ,.\backslash ,(m-2)\}\{1\backslash ,.\backslash ,2\backslash ,.\backslash ,3\}\backslash ,.\backslash ,x^3+\backslash ldots$ u.s.w.,
: J._Reine_Angew._Math. 1 (1829) 311–331
: Die abelsche Ungleichung zusammen mit der relevanten Umformung findet sich als Lehrsatz III auf S. 314.

Weblinks

http://mathworld.wolfram.com/AbelsInequality.html

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