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Abelsche Integralgleichung

Die Abelsche Integralgleichung beschreibt die Auswirkung von Integralgleichungen auf die Physik.

Geschichte

Niels Henrik Abel untersuchte in seiner damit verbunden Arbeit als einer der ersten die Auswirkung von Integralgleichungen auf die Physik. Bis dahin war sie vorwiegend von Differentialgleichungen bestimmt, nun konnte er aber durch seine Formulierung für einen Körper der sich unter dem Einfluss der Schwerkraft entlang einer in einer vertikalen Ebene gelegenen Kurve von $P1(x\_0,y\_0)$ nach (0,0) bewegt genau die Bewegung des Massenpunktes zu jedem Zeitpunkt bestimmen. Und war somit ein Vorbote der _Hamiltonschen_Mechanik_.

Formel

Ausgehend von der _klassischen Formel für Geschwindigkeit $v\; =\; \backslash frac\{ds\}\{dt\}=\; \backslash sqrt\{2g(y\_0-\; y)\}$ kommt man durch Integration über die Strecke auf die Fallzeit $T(y\_0)\; =\; \backslash int\; \_0\; ^l\; \backslash frac\; \{ds\}\{\backslash sqrt\{2g(y\_0-y)\}\}$.

Durch die Substitution $s=f(y)\; \backslash ,\; \backslash Rightarrow\; \backslash ,\; f\text{'}(y)\; =\; ds/dy\; \backslash ,\; \backslash Rightarrow\; \backslash ,\; ds\; =\; f\text{'}(y)\; \backslash cdot\; dy$ zu der endgültigen Form:

$T(y\_0)\; =\; \backslash frac\{1\}\; \{\; \backslash sqrt\{2g\}\; \}\; \backslash int\; \_0\; ^\{y\_0\}\; \backslash frac\{f\text{'}(y)\}\{\; \backslash sqrt\{y\_0-y\}\; \}\backslash ,\; dy$.

Die der _Volterraschen_Integralgleichung ähnelt und für die explizite Lösungsverfahren existieren.

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