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Abelsche Identität

Die abelsche Identität ist ein Ausdruck für die Wronski-Determinante zweier linear_unabhängiger homogener Lösungen einer linearen, gewöhnlichen_Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die Beziehung wurde 1827 von dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel hergeleitet.

Definition

Gegeben sei die lineare, gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung
:$\backslash frac\{d^2y\}\{dx^2\}+P(x)\backslash frac\{dy\}\{dx\}+Q(x)y=0$.
Für die Wronski-Determinante von zwei Lösungen der Differentialgleichung gilt dann:
:$W(x)=W(x\_0)\backslash exp\backslash left\backslash \{-\backslash int\_\{x\_0\}^xP(\backslash xi)\backslash ,d\backslash xi\backslash right\backslash \}$.

Anwendung

Die abelsche Identität erlaubt es, die Wronski-Determinate bei bekanntem Wert an der Stelle $x\_0$ für alle anderen $x$ zu berechnen. Insbesondere ist die Wronski-Determinate konstant wenn $P(x)=0$ gilt. Aufgrund der Beziehung, die die Wronski-Determinate zwischen zwei linear unabhängigen Lösungen herstellt, erlaubt sie u.U., die eine aus der anderen zu berechnen.

Literatur

*W. Boyce und R. Di Prima: Elementary differential equations and boundary value problems. Wiley, New York, 1969
*Eric W. Weisstein. Abel's Differential Equation Identity. From MathWorld-A Wolfram Web Resource. (siehe Weblinks)

Weblinks

*http://mathworld.wolfram.com/AbelsDifferentialEquationIdentity.html (englisch)

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