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Abc-Vermutung

Die abc-Vermutung ist eine 1985 von Joseph Oesterlé und David Masser aufgestellte mathematische Vermutung. Dabei geht es um eine Eigenschaft von Tripeln von natürlichen_Zahlen, bei denen die dritte die Summe der beiden anderen ist. Die Vermutung ist bisher weder bewiesen noch widerlegt. Es sind allerdings bereits eine Anzahl weitreichender zahlentheoretischer Aussagen bekannt, die aus der Gültigkeit der abc-Vermutung folgen.

Formulierung

Die abc-Vermutung lautet:
:Für jedes $\backslash varepsilon\; >\; 0$ existiert eine Konstante $K\_\backslash varepsilon$, sodass für alle Tripel teilerfremder positiver ganzer Zahlen $a$, $b$, $c$ mit $a+b=c$ die folgende Ungleichung gilt:
::

Die Vermutung wird für ε > 0 formuliert, da sie für ε = 0 nachweislich falsch ist.

Mit $\backslash operatorname\{rad\}(n)$ wird das Radikal einer positiven ganzen Zahl $n$ bezeichnet. Dies ist das Produkt der verschiedenen Primfaktoren von $n$. Kommt ein Primfaktor in der Primfaktorzerlegung von $n$ mehrfach vor, so wird er zur Berechnung von $\backslash operatorname\{rad\}(n)$ nur einmal verwendet.

Folgerungen aus der abc-Vermutung

Die Vermutung konnte bisher zwar nicht bewiesen werden, zieht allerdings eine Menge interessanter Konsequenzen nach sich. Insbesondere der sehr komplexe und komplizierte Beweis des Großen_fermatschen_Satzes würde sich auf eine Seite reduzieren.
Theorem von Roth von Klaus Friedrich Roth bewiesen
* Großer fermatscher Satz, von Andrew Wiles bewiesen
Faltings Theorem, von Gerd Faltings bewiesen
Erd?s?Woods Vermutung
* die Existenz von endlich vielen Wieferich-Primzahlen
* die schwache Form der Marshall-Hall-Vermutung
* die Mengen von aufeinanderfolgenden Zahlentripeln der Starken Zahlen ist endlich
* die Dirichlet L-Funktion hat keine Siegel-Null

Spezielle Form der abc-Vermutung

Eine etwas speziellere Formulierung der Vermutung postulierte Alan Baker 1996, indem er $\backslash mathrm\{rad\}\; (abc)$ durch

: $\backslash varepsilon^\{-\backslash omega\}\; \backslash mathrm\{rad\}(abc)$

ersetzte, wobei ? die Anzahl der paarweise teilerfremden Zahlen a, b und c ist. Eine verwandte Vermutung von Andrew Granaville setzt fest, dass die rechte Seite des Terms auch durch

: $O(\backslash mathrm\{rad\}(abc)\; \backslash Theta(\backslash mathrm\{rad\}(abc)))$

ersetzt werden kann, wobei ?(n) die Anzahl der ganzzahligen Zahlen bis n ist, die nur durch Primzahlen teilbar sind, die n teilen.

Teilergebnisse

Da bisher ein Beweis für die abc-Vermutung aussteht wurden Berechnungen angestellt, um die Vermutung bis zu einem gewissen Zahlenraum nachzuprüfen. Beispielsweise sind:

$\backslash mathrm\{rad\}(2^2\backslash cdot3^4)\; =\; 2\backslash cdot3\; =\; 6,\backslash qquad\; \backslash mathrm\{rad\}(2\backslash cdot3\backslash cdot5^2)=2\backslash cdot3\backslash cdot5=30.$

Drei positive ganze Zahlen a,b,c heißen abc-Tripel wenn a,b teilerfremd zueinander sind und a+b=c gilt. Jedesmal wenn rad(abc) berechnet wird, wird nachgeprüft, ob rad(abc) gilt. Wenn die Ungleichung erfüllt wird, bezeichnen wir das als abc-Treffer. Unter allen 15 · 10^6 abc-Tripeln befinden sich 120 abc-Treffer mit C<10.000. Unter allen 380 · 10^6 abc-Tripel befinden sich 276 abc-Treffer mit C<50.000.

Dazu wurden im Laufe der Jahre folgende Berechnungen angestellt:

1986, C.L. Stewart and R. Tijdeman:

:

1991, C.L. Stewart and Kunrui Yu:

:

1996, C.L. Stewart and Kunrui Yu:

:

wobei C₁ eine festgelegte Konstate ist und C₂ sowie C₃ postive leicht berechenbare Konstanten in Abhängigkeit von ε.

Literatur

* Masser, D. W. On abc and Discriminants. Proc. Amer._Math._Soc. Seite 130, 3141-3150, 2002.
* Stewart, C. L. and Tijdeman, R. On the Oesterlé-Masser Conjecture. Mh. Math. Seite 102, 251-257, 1986.

Quellen

* Frits Beukers [http://www.math.uu.nl/people/beukers/ABCpresentation.pdf Vortragsfolien] (englisch)

Weblinks

• Abderrahmane Nitaj's Webseite über die abc-Vermutung
• Peterson, I. "MathTrek: The Amazing ABC Conjecture." Dec. 8, 1997 (englisch)
• Artikel bei Wolfram MathWorld
• Projekt, das versucht mit Hilfe von Verteiltem Rechnen dieses Problem zu lösen