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Abbildungsmatrix

Eine Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix ist eine _Matrix, die in der linearen_Algebra verwendet wird, um eine lineare Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen zu beschreiben.

Verwendung von Abbildungsmatrizen

Voraussetzungen

Um eine lineare Abbildung von Vektorräumen durch eine Matrix beschreiben zu können, muss zunächst sowohl im Urbildraum als auch im Zielraum eine Basis fest gewählt worden sein. Bei einem Wechsel der Basen in einem der betroffenen Räume muss die Matrix transformiert werden, sonst beschreibt sie eine andere lineare Abbildung!

Wenn in der Definitionsmenge und der _Zielmenge eine Basis gewählt worden ist, dann lässt sich eine lineare Abbildung eindeutig durch eine Abbildungsmatrix beschreiben. Allerdings muss dafür festgelegt werden, ob man die Koordinaten von Vektoren in Spalten- oder Zeilenschreibweise notiert. Die üblichere Schreibweise ist die in Spalten.

Dazu muss man den Vektor, der abgebildet werden soll, als Spaltenvektor (bzgl. der gewählten Basis) schreiben.

Aufbau der Abbildungsmatrix bei Verwendung von Spaltenvektoren

Nach der Wahl von Basen in Definitionsmenge und _Zielmenge stehen in den Spalten der Abbildungsmatrix die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren des abgebildeten Vektorraums bezüglich der Basis des Zielraums. Konkret: Der erste Basisvektor des Urbildraumes hat nach der Abbildung den Koordinatensatz aus der ersten Spalte usw. So wird die gesamte Abbildungsmatrix aufgebaut. Eine Abbildungsmatrix, die eine Abbildung aus einem 4-dimensionalen Vektorraum in einen 6-dimensionalen Vektorraum beschreibt, muss daher stets 6 Zeilen (für die sechs Bildkoordinaten der Basisvektoren) und 4 Spalten (für jeden Basisvektor des Urbildraums eine) haben.

Allgemeiner: Eine lineare Abbildungsmatrix A aus einem n-dimensionalen Vektorraum in einen m-Dimensionalen Vektorraum hat m Zeilen und n Spalten. Das Bild eines Koordinatenvektors kann man dann so berechnen:

$\backslash mathbf\{A\}\; \backslash vec\; x\; =\; \backslash vec\; y$. Dabei ist $\backslash vec\; y$ der Bildvektor, $\backslash vec\; x$ der Vektor, der abgebildet wird, jeweils in den Koordinaten ihres Raumes.

Verwendung von Zeilenvektoren

Verwendet man anstelle von Spalten- Zeilenvektoren, dann muss die Abbildungmatrix transponiert werden.
Das bedeutet, dass nun die Koordinaten des Bildes des 1. Basisvektors im Urbildraum in der ersten Zeile stehen usw. Bei der Berechnung der Bildkoordinaten muss der (Zeilenkoordinaten-)vektor nun von links an die Abbildungsmatrix multipliziert werden.

Beschreibung von Endomorphismen durch Abbildungsmatrizen

Bei einer linearen Selbstabbildung (einem Endomorphismus) eines Vektorraums, legt man gewöhnlich eine feste Basis des Vektorraumes als Definitionsmenge und _Zielmenge zugrunde. Dann beschreibt die Abbildungsmatrix die Veränderung, die die Koordinaten eines beliebigen Vektors bezüglich dieser Basis bei der Abbildung erfahren. Die Abbildungsmatrix ist bei Endomorphismen stets
quadratisch, d.h. die Zahl der Zeilen stimmt mit der Zahl der Spalten überein.

Beispiele für Abbildungsmatrizen

Im dreidimensionalen Raum (mit der kanonischen Basis) kann man die Projektion eines Vektors auf eine Ursprungsgerade durch folgende Abbildungsmatrix beschreiben:

, dabei sind  $\backslash vec\; n\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; n\_1\; \backslash \backslash \; n\_2\; \backslash \backslash \; n\_3\; \backslash end\{pmatrix\}$  die Koordinaten des normierten Richtungsvektors der Geraden.

Wird anstatt auf eine Gerade auf eine Ebene mit den beiden zueinander senkrechten, normierten Richtungsvektoren $\backslash vec\; p$ und $\backslash vec\; q$ projiziert, so kann man dies in zwei Projektionen entlang der beiden Richtungsvektoren auffassen, und demnach die Projektionsmatrix für die Projektion auf eine Ursprungsebene folgendermaßen aufstellen:

$A\_\{P\_E\}\; =\; A\_\{P\_p\}\; +\; A\_\{P\_q\}$

Die Projektionsmatrix um auf eine Ebene zu projizieren, ist also die Summe der Projektionsmatrizen auf ihre Richtungsvektoren.

Wird anstatt einer Projektion eine Spiegelung durchgeführt, so kann dies ebenfalls mit Hilfe der Projektionsmatrix dargestellt werden. Für die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden mit normiertem Richtungsvektor $\backslash vec\; n$ gilt:

$A\_\{S\_n\}\; =\; 2\; A\_\{P\_n\}\; -\; E$, wobei E die Einheitsmatrix darstellt.

Gleiches gilt für die Spiegelung an der Ebene:

$A\_\{S\_E\}\; =\; 2\; A\_\{P\_E\}\; -\; E$

Wenn man im dreidimensionalem Raum um eine Ursprungsgerade mit normiertem Richtungsvektor $\backslash vec\; n$ dreht, lässt sich die hierfür nötige Abbildungsmatrix ebenfalls folgendermaßen darstellen:

, wobei E wieder die Einheitsmatrix, und $\backslash alpha$ den Drehwinkel bezeichnet.

Siehe hierzu auch: Drehmatrix

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