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Abbildungskegel

Der Abbildungskegel ist eine Konstruktion in der Topologie, die einer Abbildung $f:\; X\backslash rightarrow\; Y$ zwischen zwei topologischen_Räumen einen dritten topologischen Raum $Cf$ zuordnet.Hierzu definiert man zunächst den Kegel $CX$ eines Raumes X. Hierunter versteht man den Raum, den man aus dem Produkt $X\backslash times\; [0,1]$ durch Identifikation aller Punkte in $X\backslash times\; \backslash \{1\backslash \}$ (der ?Kegelspitze?) erhält. Dieser ist offenbar homotopieäquivalent zu einem Punkt.

Den Abbildungskegel einer Abbildung $f:\; X\backslash rightarrow\; Y$ erhält man nun (wie in der Zeichnung angedeutet) durch Verkleben von $CX$ und $Y$. Genauer identifiziert man in der disjunkten_Vereinigung $CX\; \backslash sqcup\; Y$ jeweils $(x,0)$ mit $f(x)$ für alle $x\backslash in\; X$.

In der Kategorie der punktierten_topologischen_Räume betrachtet man meist den reduzierten Abbildungskegel. Dieser entsteht dadurch, dass man in dem Abbildungskegel $Cf$ das Intervall $pt\; \backslash times\; [0,1]$ identifiziert. Hierbei bezeichnet $pt$ den Basispunkt von X. Für einen wohlpunktierten_Raum ist der reduzierte Abbildungskegel homotopieäquivalent zum normalen Abbildungskegel.

Beispiel

Wenn $f\; =\; id:\; X\backslash rightarrow\; X$, so gilt $Cf\; \backslash cong\; CX$. Ist $f:\; X\; \backslash rightarrow\; Y$ konstant, so gilt $Cf\; \backslash cong\; \backslash Sigma\; X\; \backslash vee\; Y$, wobei $\backslash vee$ das Wedge-Produkt bezeichnet.

Der Kegel $CS^\{n-1\}$ ist homöomorph zur Vollkugel $D^n$. Dies sieht man, indem man die Kegelspitze "herunterdrückt". Allgemeiner gilt, dass, wenn $f:\; \backslash coprod\_\{i\backslash in\; I\}\; S^n\_i\backslash rightarrow\; X\_n$ die anklebende Abbildung in einem CW-Komplex X an das n-Skelett ist, der Abbildungskegel $Cf$ homöomorph zum (n+1)-Skelett $X\_\{n+1\}$ ist.

Rolle in der Homotopietheorie

Sind zwei Abbildungen $f,\; g:\; X\backslash rightarrow\; Y$ homotop, so sind ihre Abbildungskegel $Cf$ und $Cg$ homotopieäquivalent.

Wenn $A\backslash subset\; X$ ein abgeschlossener Teilraum und die Inklusion $i:\; A\backslash hookrightarrow\; X$ eine Kofaserung ist, so ist $Ci$ homotopieäquivalent zu dem Quotientenraum $X/A$. Man kann zeigen, dass die Inklusion $j:\; Y\backslash hookrightarrow\; Cf$ stets eine abgeschlossene Kofaserung ist. Somit erhält man, dass der Abbildungskegel $Cj$ homotopieäquivalent zu $Cf/Y\; \backslash cong\; \backslash Sigma\; X$ ist, wobei $\backslash Sigma\; X$ die Einhängung von X bezeichnet. Fährt man auf die gleiche Weise fort, so erhält man, dass der Abbildungskegel der Inklusion von $Cf$ nach $\backslash Sigma\; X$ die Einhängung von Y ergibt usw.

Hat man eine Abbildung $g:\; Y\backslash rightarrow\; Z$ in einen topologischen Raum Z, so ist die Komposition $g\backslash circ\; f$ genau dann homotop zu einer konstanten Abbildung, wenn g fortsetzbar ist zu einer Abbildung $g\text{'}:\; Cf\backslash rightarrow\; Z$. Für den Fall, dass $f\; =\; id:\; X\backslash rightarrow\; X$ ist das Resultat noch etwas anschaulicher: eine Abbildung $g:\; X\backslash rightarrow\; Z$ ist genau dann homotop zu einer konstanten Abbildung, wenn sie fortsetzbar ist zu einer Abbildung $g\text{'}:\; CX\backslash rightarrow\; Z$. Um die Abbildung $g\text{'}$ zu konstruieren, benutzt man einfach die Homotopie $H:\; X\backslash times\; [0,1]\backslash rightarrow\; Z$, die auf $X\backslash times\; \{1\}$ konstant ist.

Wenn man punktierte Räume und punktierte Abbildungen betrachtet, bedeutet dies, dass die folgende Sequenz exakt ist:

::$\backslash dots\; \backslash rightarrow\; [\backslash Sigma\; Y,\; Z]\; \backslash rightarrow\; [\backslash Sigma\; X,\; Z]\; \backslash rightarrow\; [Cf,\; Z]\; \backslash rightarrow\; [Y,\; Z]\; \backslash rightarrow\; [X,\; Z]$

Diese exakte Sequenz nennt man auch Puppe-Folge.

Literatur

* Glen E. Bredon: Topology and Geometry. Springer, 1997, ISBN 0387979263
* Robert M. Switzer: Algebraic Topology - Homology and Homotopy Springer, 2000, ISBN 3540427503

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